Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício é de cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como o limite se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador para facilitar a análise:
Isso pode ser reescrito como:
Perceba que
é um quadrado perfeito:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, nossa função fica:
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando
. Isso nos dá uma forma indeterminada
, indicando que precisamos analisar melhor para ver se o limite existe.
Passo 4
Para verificar se o limite existe, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes para o limite por caminhos distintos, isso significa que o limite não existe.
Passo 5
Primeiro caminho: Vamos seguir o eixo
. Ou seja, fixamos
e deixamos
se aproximar de 0.
Substituindo na função:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 6
Segundo caminho: Agora, vamos considerar uma linha inclinada, por exemplo,
, onde
é uma constante que define a inclinação.
Substituindo
na função:
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica:
Passo 7
Note que o resultado
depende do valor de
. Isso significa que diferentes caminhos (com diferentes inclinações
) levam a diferentes valores de limite.
Por exemplo:
- Se
, o limite é 0. - Se
, o limite é .
Como os limites são diferentes para diferentes valores de
, concluímos que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar do ponto
por caminhos distintos.
Exercícios relacionados
Considere a sequência:
b) Encontre o limite de
.
Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa:
Se uma sequência , então
também diverge.
Se uma sequência
Seja a sequência
, dada por
e
.
c) Mostre que é monótona.
c) Mostre que
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.