Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta. lim (x, y) (0,2) 2 x(y-2)3 x^2+y^2-4 y+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim(x, y) (0, 2) 2x(y - 2)3x^2 + y^2 -4y +4
Esse exercício é de cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como o limite se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador para facilitar a análise:
3x^2 + y^2 -4y +4
Isso pode ser reescrito como:
3x^2 + (y^2 - 4y + 4)
Perceba que y^2 - 4y + 4 = (y - 2)^2 é um quadrado perfeito:
3x^2 + (y - 2)^2
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, nossa função fica:
2x(y - 2)3x^2 + (y - 2)^2
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando . Isso nos dá uma forma indeterminada , indicando que precisamos analisar melhor para ver se o limite existe.

Passo 4

Para verificar se o limite existe, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes para o limite por caminhos distintos, isso significa que o limite não existe.

Passo 5

Primeiro caminho: Vamos seguir o eixo 2x(2 - 2)3x^2 + (2 - 2)^2 = 2x cdot 03x^2 + 0 = 0 . Ou seja, fixamos e deixamos se aproximar de 0.
Substituindo na função:
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 6

Segundo caminho: Agora, vamos considerar uma linha inclinada, por exemplo, 2x(y - 2) = 2x(mx) = 2m x^2 , onde 3x^2 + (y - 2)^2 = 3x^2 + (mx)^2 = 3x^2 + m^2x^2 = (3 + m^2)x^2 é uma constante que define a inclinação.
Substituindo 2m x^2(3 + m^2)x^2 = 2m3 + m^2 na função:
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica:

Passo 7

Note que o resultado depende do valor de . Isso significa que diferentes caminhos (com diferentes inclinações ) levam a diferentes valores de limite.
Por exemplo:
  • Se , o limite é 0.
  • Se , o limite é .
Como os limites são diferentes para diferentes valores de , concluímos que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar do ponto por caminhos distintos.

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