Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício é de cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como o limite se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador para facilitar a análise:
Isso pode ser reescrito como:
Perceba que é um quadrado perfeito:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, nossa função fica:
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando . Isso nos dá uma forma indeterminada , indicando que precisamos analisar melhor para ver se o limite existe.

Passo 4

Para verificar se o limite existe, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes para o limite por caminhos distintos, isso significa que o limite não existe.

Passo 5

Primeiro caminho: Vamos seguir o eixo . Ou seja, fixamos e deixamos se aproximar de 0.
Substituindo na função:
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 6

Segundo caminho: Agora, vamos considerar uma linha inclinada, por exemplo, , onde é uma constante que define a inclinação.
Substituindo na função:
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica:

Passo 7

Note que o resultado depende do valor de . Isso significa que diferentes caminhos (com diferentes inclinações ) levam a diferentes valores de limite.
Por exemplo:
  • Se , o limite é 0.
  • Se , o limite é .
Como os limites são diferentes para diferentes valores de , concluímos que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar do ponto por caminhos distintos.

Exercícios relacionados

Considere a sequência:
b) Encontre o limite de .
Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa:
Se uma sequência , então também diverge.
Seja a sequência , dada por e .
c) Mostre que é monótona.
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.