Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa:
Se uma sequência {an}_{n ≥ 1}, então { |a_n| }_{n ≥ 1} também diverge.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um exemplo que mostre que a seguinte afirmação é falsa: “Se uma sequência diverge, então a sequência dos seus valores absolutos também diverge.” Para isso, precisamos de uma sequência que não converge, mas cujo valor absoluto converge.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa uma sequência divergir. Uma sequência diverge quando não tem um limite finito; ou seja, os seus termos não se aproximam de nenhum número específico à medida que aumenta. Por outro lado, uma sequência converge se os seus termos se aproximam de um número fixo.

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma sequência que não converge. Um exemplo clássico é a sequência . Essa sequência alterna entre 1 e -1: quando é par, ; quando é ímpar, . Como os termos não se aproximam de nenhum número específico, essa sequência diverge.

Passo 4

Vamos analisar a sequência dos valores absolutos dessa sequência, ou seja, . No nosso exemplo, para todo . Isso significa que todos os termos da sequência dos valores absolutos são iguais a 1.

Passo 5

Como todos os termos de são iguais a 1, essa sequência converge para 1. Ou seja, tem um limite finito, mesmo que a sequência original não tenha.

Resposta

Portanto, o exemplo da sequência mostra que é possível ter uma sequência que diverge, mas cujo valor absoluto converge. Isso contraria a afirmação original, provando que ela é falsa.

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