Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa:
Se uma sequência
, então
também diverge.
Se uma sequência
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um exemplo que mostre que a seguinte afirmação é falsa: “Se uma sequência
diverge, então a sequência dos seus valores absolutos
também diverge.” Para isso, precisamos de uma sequência que não converge, mas cujo valor absoluto converge.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa uma sequência divergir. Uma sequência diverge quando não tem um limite finito; ou seja, os seus termos não se aproximam de nenhum número específico à medida que
aumenta. Por outro lado, uma sequência converge se os seus termos se aproximam de um número fixo.
Passo 3
Agora, vamos pensar em uma sequência que não converge. Um exemplo clássico é a sequência
. Essa sequência alterna entre 1 e -1: quando
é par,
; quando
é ímpar,
. Como os termos não se aproximam de nenhum número específico, essa sequência diverge.
Passo 4
Vamos analisar a sequência dos valores absolutos dessa sequência, ou seja,
. No nosso exemplo,
para todo
. Isso significa que todos os termos da sequência dos valores absolutos são iguais a 1.
Passo 5
Como todos os termos de
são iguais a 1, essa sequência converge para 1. Ou seja,
tem um limite finito, mesmo que a sequência original
não tenha.
Resposta
Portanto, o exemplo da sequência
mostra que é possível ter uma sequência que diverge, mas cujo valor absoluto converge. Isso contraria a afirmação original, provando que ela é falsa.