Seja a sequência
, dada por
e
.
c) Mostre que
é monótona.
c) Mostre que
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: temos uma sequência definida por
e
para todo
. O objetivo é mostrar que essa sequência é monótona. Isso significa que a sequência é sempre crescente ou sempre decrescente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma sequência monótona e usar conceitos de progressões para demonstrar a propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta:
Observamos que os termos estão aumentando. Isso sugere que a sequência pode ser crescente.
Passo 3
Vamos provar que a sequência é crescente usando o princípio da indução matemática.
Base da indução:
Para ,
Para
Portanto,
.
Passo indutivo:
Assumimos que para algum
. Queremos mostrar que
.
Assumimos que
Considerando a definição da sequência:
E
Como
e a função
é crescente para
, então:
Portanto, se
, então
.
Pela indução matemática, mostramos que
para todo
, o que significa que a sequência é crescente.
Resposta
A sequência
é monótona crescente.
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Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Considere a sequência:
b) Encontre o limite de
.
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Sendo
.
a) Exprima em função de
.
a) Exprima