Seja a sequência {an}_{n ≥ 1}, dada por a1 = raiz(2) e a_{n+1} = raiz(2 a_{n}), n ≥ 1.
c) Mostre que {an}_{n ≥ 1} é monótona.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: temos uma sequência definida por e para todo . O objetivo é mostrar que essa sequência é monótona. Isso significa que a sequência é sempre crescente ou sempre decrescente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma sequência monótona e usar conceitos de progressões para demonstrar a propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta:
Observamos que os termos estão aumentando. Isso sugere que a sequência pode ser crescente.

Passo 3

Vamos provar que a sequência é crescente usando o princípio da indução matemática.
Base da indução:
Para ,
Portanto, .
Passo indutivo:
Assumimos que para algum . Queremos mostrar que .
Considerando a definição da sequência:
E
Como e a função é crescente para , então:
Portanto, se , então .
Pela indução matemática, mostramos que para todo , o que significa que a sequência é crescente.

Resposta

A sequência é monótona crescente.

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