Considere a sequência:
b) Encontre o limite de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma sequência definida por várias raízes quadradas começando com √12 e adicionando mais raízes a cada passo. O que precisamos fazer aqui é encontrar o limite dessa sequência, ou seja, descobrir para onde ela está indo conforme n aumenta. Vamos usar conceitos de progressões e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o limite da sequência de
. Isso significa que, quando n é muito grande,
se aproxima de
. Assim, podemos escrever:
Aqui, usamos a ideia de que o limite da sequência satisfaz a mesma relação que cada termo da sequência.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação e encontrar
, vamos eliminar a raiz quadrada. A forma de fazer isso é elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso simplifica a equação e nos ajuda a solucionar para
.
Passo 4
Em seguida, vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática padrão:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 5
Aplicando a fórmula quadrática
, onde
,
e
, temos:
Passo 6
Resolvendo as duas possibilidades:
Passo 7
Agora, precisamos decidir qual dessas soluções faz sentido no contexto da nossa sequência. Como estamos trabalhando com raízes quadradas, que sempre resultam em números não negativos, descartamos
. Portanto, a única solução válida é
.
Resposta
O limite da sequência
é 4.
Exercícios relacionados
Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa:
Se uma sequência , então
também diverge.
Se uma sequência
Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descreva-os nos outros dois formatos:
Formatos: Predicativa:
Enumerativa:
Formatos: Predicativa:
Enumerativa:
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Seja a sequência
, dada por
e
.
c) Mostre que é monótona.
c) Mostre que