Considere a sequência:
b) Encontre o limite de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma sequência definida por várias raízes quadradas começando com √12 e adicionando mais raízes a cada passo. O que precisamos fazer aqui é encontrar o limite dessa sequência, ou seja, descobrir para onde ela está indo conforme n aumenta. Vamos usar conceitos de progressões e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite da sequência de . Isso significa que, quando n é muito grande, se aproxima de . Assim, podemos escrever:
Aqui, usamos a ideia de que o limite da sequência satisfaz a mesma relação que cada termo da sequência.

Passo 3

Agora, para resolver essa equação e encontrar , vamos eliminar a raiz quadrada. A forma de fazer isso é elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso simplifica a equação e nos ajuda a solucionar para .

Passo 4

Em seguida, vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática padrão:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

Aplicando a fórmula quadrática , onde , e , temos:

Passo 6

Resolvendo as duas possibilidades:

Passo 7

Agora, precisamos decidir qual dessas soluções faz sentido no contexto da nossa sequência. Como estamos trabalhando com raízes quadradas, que sempre resultam em números não negativos, descartamos . Portanto, a única solução válida é .

Resposta

O limite da sequência é 4.

Exercícios relacionados

Dê um contra-exemplo para justificar que a proposição é falsa:
Se uma sequência , então também diverge.
Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descreva-os nos outros dois formatos:
Formatos: Predicativa:
Enumerativa:
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Seja a sequência , dada por e .
c) Mostre que é monótona.