Calcule o posto da matriz abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos calcular o posto da matriz . O posto é basicamente o número de linhas (ou colunas) que são linearmente independentes na matriz. Para isso, vamos usar a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar a matriz até chegar numa forma onde fica mais fácil ver quantas linhas realmente são únicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz de novo para termos certeza de como ela está:

Passo 3

Vamos começar simplificando a primeira coluna. O objetivo é ter o primeiro elemento como 1, mas para facilitar, vamos usar o 4 como pivô. A ideia é zerar os elementos abaixo dele.
  • Linhas 2, 3 e 5 são múltiplos da linha 1. Vamos verificar:
Linha 2: , mas os outros elementos também são múltiplos. Na verdade, observamos que a linha 2 é vezes a linha 1.
Linha 3 é igual à linha 2, então também é múltipla.
Linha 5 é 2 vezes a linha 1.
Linha 4 não é múltipla da linha 1, então vamos mantê-la.

Passo 4

Como as linhas 2, 3 e 5 são múltiplos da linha 1, elas não adicionam nova informação. Podemos remover essas linhas, deixando apenas as linhas 1 e 4 para seguir.
Nossa matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha para facilitar. Podemos multiplicar a segunda linha por -1 para tornar o primeiro elemento positivo:

Passo 6

Vamos usar a segunda linha para zerar o primeiro elemento da primeira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2 e subtraímos da primeira linha:
Então, a primeira linha vira toda zerada:

Passo 7

Agora, nossa matriz simplificada tem apenas uma linha não nula:
Isso significa que apenas uma linha é linearmente independente.

Resposta

O posto da matriz é 1.

Exercícios relacionados

Assinale a matriz aumentada do sistema de equações lineares
Determine a equação do plano que passa:
pelo ponto e é paralelo ao plano ;
Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao eixo .

Considere o sistema


Determine:
o posto da matriz ampliada: e o grau de liberdade:
O sistema é
Insira as entradas da matriz ampliada do sistema equivalente obtido após levar a matriz dos coeficientes à forma escalonada reduzida: