Calcule o posto da matriz abaixo:
M=[cccccc 4 & -2 & -6 & 2 & -4 & 6 6 & -3 & -9 & 3 & -6 & 9 6 & -3 & -9 & 3 & -6 & 9 -2 & 1 & 3 & -1 & 2 & -3 8 & -4 & -12 & 4 & -8 & 12 ]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o posto da matriz . O posto é basicamente o número de linhas (ou colunas) que são linearmente independentes na matriz. Para isso, vamos usar a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar a matriz até chegar numa forma onde fica mais fácil ver quantas linhas realmente são únicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz M=[cccccc 4 & -2 & -6 & 2 & -4 & 6 6 & -3 & -9 & 3 & -6 & 9 6 & -3 & -9 & 3 & -6 & 9 -2 & 1 & 3 & -1 & 2 & -3 8 & -4 & -12 & 4 & -8 & 12 ] de novo para termos certeza de como ela está:

Passo 3

Vamos começar simplificando a primeira coluna. O objetivo é ter o primeiro elemento como 1, mas para facilitar, vamos usar o 4 como pivô. A ideia é zerar os elementos abaixo dele.
  • Linhas 2, 3 e 5 são múltiplos da linha 1. Vamos verificar:
Linha 2: , mas os outros elementos também são múltiplos. Na verdade, observamos que a linha 2 é vezes a linha 1.
Linha 3 é igual à linha 2, então também é múltipla.
Linha 5 é 2 vezes a linha 1.
Linha 4 não é múltipla da linha 1, então vamos mantê-la.

Passo 4

Como as linhas 2, 3 e 5 são múltiplos da linha 1, elas não adicionam nova informação. Podemos remover essas linhas, deixando apenas as linhas 1 e 4 para seguir.
Nossa matriz fica assim:
[cccccc 4 & -2 & -6 & 2 & -4 & 6 -2 & 1 & 3 & -1 & 2 & -3 ]

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha para facilitar. Podemos multiplicar a segunda linha por -1 para tornar o primeiro elemento positivo:
[cccccc 4 & -2 & -6 & 2 & -4 & 6 2 & -1 & -3 & 1 & -2 & 3 ]

Passo 6

Vamos usar a segunda linha para zerar o primeiro elemento da primeira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2 e subtraímos da primeira linha:
  • [cccccc 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 2 & -1 & -3 & 1 & -2 & 3 ]
Então, a primeira linha vira toda zerada:

Passo 7

Agora, nossa matriz simplificada tem apenas uma linha não nula:
[cccccc 2 & -1 & -3 & 1 & -2 & 3 ]
Isso significa que apenas uma linha é linearmente independente.

Resposta

O posto da matriz é 1.

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