Determine:
o posto da matriz ampliada: e o grau de liberdade:
O sistema é
Insira as entradas da matriz ampliada do sistema equivalente obtido após levar a matriz dos coeficientes à forma escalonada reduzida:
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse sistema de equações que tem quatro variáveis: , , e . O que a gente precisa fazer é montar a matriz ampliada desse sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes. Depois, vamos usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada forma escalonada reduzida. Com isso, a gente consegue descobrir o posto da matriz, que nos ajuda a entender quantas soluções o sistema tem, e o grau de liberdade, que indica quantas variáveis podem variar livremente.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. Cada linha representa uma equação e cada coluna, uma variável, exceto a última coluna que são os termos constantes:
Passo 3
Agora, vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é o 6 na primeira linha e primeira coluna). Para facilitar os cálculos, podemos dividir a primeira linha por 6 para deixar o pivô igual a 1:
Passo 4
Vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô na primeira coluna. Para isso, subtraímos múltiplos da primeira linha das outras linhas:
Linha 2: Linha 2 - 4 × Linha 1
Linha 3: Linha 3 - 11 × Linha 1
Linha 4: Linha 4 - 8 × Linha 1
Após essas operações, a matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna e tornar o pivô igual a 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por :
Passo 6
Vamos eliminar os elementos acima e abaixo do pivô da segunda coluna:
Linha 1: Linha 1 - × Linha 2
Linha 3: Linha 3 - × Linha 2
Linha 4: Linha 4 - × Linha 2
Após isso, a matriz fica:
Passo 7
Agora, vamos para a terceira coluna e tornar o pivô igual a 1. Multiplicamos a terceira linha por :
Passo 8
Vamos eliminar os elementos acima do pivô da terceira coluna:
Linha 1: Linha 1 - Linha 3
Linha 2: Linha 2 - Linha 3
A matriz fica assim:
Passo 9
Pronto! Chegamos à forma escalonada reduzida da matriz ampliada. Agora, vamos identificar o posto da matriz. O posto é o número de linhas não nulas na matriz escalonada. Neste caso, temos 3 linhas com pivôs, então o posto é 3.
Como temos 4 variáveis (, , , ) e o posto é 3, o grau de liberdade é igual ao número de variáveis menos o posto, ou seja, . Isso significa que uma das variáveis pode ser livre para assumir qualquer valor.
Resposta
Posto da matriz ampliada: 3
Grau de liberdade: 1
Tipo de sistema: Indeterminado, com infinitas soluções.