Considere o sistema

c6 x+2 y+8 z+0 w=32 4 x+2 y+6 z+0 w=24 11 x+4 y+15 z+1 w=65 8 x+3 y+11 z+0 w=44
Determine:
o posto da matriz ampliada: e o grau de liberdade:
O sistema é sim
Insira as entradas da matriz ampliada do sistema equivalente obtido após levar a matriz dos coeficientes à forma escalonada reduzida:

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse sistema de equações que tem quatro variáveis: , , e . O que a gente precisa fazer é montar a matriz ampliada desse sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes. Depois, vamos usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada forma escalonada reduzida. Com isso, a gente consegue descobrir o posto da matriz, que nos ajuda a entender quantas soluções o sistema tem, e o grau de liberdade, que indica quantas variáveis podem variar livremente.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. Cada linha representa uma equação e cada coluna, uma variável, exceto a última coluna que são os termos constantes:
6 & 2 & 8 & 0 & | & 32 4 & 2 & 6 & 0 & | & 24 11 & 4 & 15 & 1 & | & 65 8 & 3 & 11 & 0 & | & 44

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é o 6 na primeira linha e primeira coluna). Para facilitar os cálculos, podemos dividir a primeira linha por 6 para deixar o pivô igual a 1:
1 & 13 & 43 & 0 & | & 163 4 & 2 & 6 & 0 & | & 24 11 & 4 & 15 & 1 & | & 65 8 & 3 & 11 & 0 & | & 44

Passo 4

Vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô na primeira coluna. Para isso, subtraímos múltiplos da primeira linha das outras linhas:
  • Linha 2: Linha 2 - 4 × Linha 1
  • Linha 3: Linha 3 - 11 × Linha 1
  • Linha 4: Linha 4 - 8 × Linha 1
Após essas operações, a matriz fica assim:
1 & 13 & 43 & 0 & | & 163 0 & 23 & 23 & 0 & | & 323 0 & 13 & 73 & 1 & | & 173 0 & 13 & 13 & 0 & | & 163

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna e tornar o pivô igual a 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 & 13 & 43 & 0 & | & 163 0 & 1 & 1 & 0 & | & 16 0 & 13 & 73 & 1 & | & 173 0 & 13 & 13 & 0 & | & 163 :

Passo 6

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo do pivô da segunda coluna:
  • Linha 1: Linha 1 - 1 & 0 & 43 - 13 = 1 & 0 & | & 163 - 163 = 0 0 & 1 & 1 & 0 & | & 16 0 & 0 & 73 - 13 = 2 & 1 & | & 173 - 163 = 13 0 & 0 & 13 - 13 = 0 & 0 & | & 163 - 163 = 0 × Linha 2
  • Linha 3: Linha 3 - × Linha 2
  • Linha 4: Linha 4 - × Linha 2
Após isso, a matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna e tornar o pivô igual a 1. Multiplicamos a terceira linha por 1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 1 & 1 & 0 & | & 16 0 & 0 & 1 & 12 & | & 16 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 :

Passo 8

Vamos eliminar os elementos acima do pivô da terceira coluna:
  • Linha 1: Linha 1 - Linha 3
  • Linha 2: Linha 2 - Linha 3
A matriz fica assim:
1 & 0 & 0 & -12 & | & -16 0 & 1 & 0 & -12 & | & 956 0 & 0 & 1 & 12 & | & 16 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 9

Pronto! Chegamos à forma escalonada reduzida da matriz ampliada. Agora, vamos identificar o posto da matriz. O posto é o número de linhas não nulas na matriz escalonada. Neste caso, temos 3 linhas com pivôs, então o posto é 3.
Como temos 4 variáveis ( , , , ) e o posto é 3, o grau de liberdade é igual ao número de variáveis menos o posto, ou seja, . Isso significa que uma das variáveis pode ser livre para assumir qualquer valor.

Resposta

  • Posto da matriz ampliada: 3
  • Grau de liberdade: 1
  • Tipo de sistema: Indeterminado, com infinitas soluções.
  • Matriz ampliada na forma escalonada reduzida:
1 & 0 & 0 & -12 & | & -16 0 & 1 & 0 & -12 & | & 956 0 & 0 & 1 & 12 & | & 16 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

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