Calcule o potencial devido a um anel circular fino de raio a e massa M para os pontos no plano do anel e exteriores a ele. O resultado pode ser expresso como uma integral elíptica. ^4 Suponha que a distância do centro do anel para o ponto do campo é grande se comparada com o raio do anel. Expanda a expressão para o potencial e encontre o primeiro termo de correção.

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício onde precisamos calcular o potencial devido a um anel circular fino de raio e massa em pontos que estão no plano do anel e fora dele. O conteúdo principal aqui envolve o conceito de potencial gravitacional (ou elétrico) gerado por uma distribuição de massa (ou carga). Para resolver isso, vamos precisar usar integrais, especificamente integrais elípticas. Além disso, como a distância do ponto onde queremos calcular o potencial é grande comparada ao raio do anel ( ), vamos expandir a expressão do potencial para encontrar o primeiro termo de correção nessa condição.

Passo 2

Expressão Geral do Potencial de um Anel Circular
Primeiramente, vamos lembrar que o potencial V = -G integral dmr devido a uma distribuição de massa é dado pela integral:
onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é um elemento de massa do anel,
  • é a distância do elemento de massa até o ponto onde queremos calcular o potencial.
Para um anel circular de raio , podemos parametrizar a posição dos elementos de massa usando um ângulo . A distância do centro do anel até o ponto de interesse é , e queremos que .

Passo 3

Relacionando as Distâncias no Problema
Considerando um ponto no plano do anel a uma distância d = raizR^2 + a^2 - 2aRcostheta do centro, a distância de um elemento de massa no anel até esse ponto pode ser expressa pela relação:
Como , podemos simplificar essa expressão usando aproximações para facilitar a integração.

Passo 4

Aproximando a Expressão da Distância
Para d approx R ( 1 - aRcostheta + a^22R^2(1 + cos^2theta) + dots ) , podemos expandir a expressão de em série de potências de :
Como queremos o primeiro termo de correção, vamos considerar até .

Passo 5

Calculando o Potencial com a Aproximação Simplificada
Substituindo a aproximação de V approx -G integral dmR ( 1 + aRcostheta + a^22R^2(1 + cos^2theta) ) na expressão do potencial:
Como a massa total do anel está distribuída uniformemente, podemos integrar os termos envolvendo que, ao integrar de a , se anulam. Assim, o primeiro termo não nulo após a integração será aquele envolvendo .

Passo 6

Identificando o Primeiro Termo de Correção
Após a integração, o potencial fica:
V approx -G MR ( 1 + a^22R^2 )
Aqui, o primeiro termo representa o potencial de uma massa pontual, e o termo é o primeiro termo de correção devido à distribuição do anel.

Resposta

O potencial devido ao anel circular, para V approx -G MR ( 1 + a^22R^2 ) , é aproximadamente:

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