Calcule o potencial devido a um anel circular fino de raio
e massa
para os pontos no plano do anel e exteriores a ele. O resultado pode ser expresso como uma integral elíptica.
Suponha que a distância do centro do anel para o ponto do campo é grande se comparada com o raio do anel. Expanda a expressão para o potencial e encontre o primeiro termo de correção.
Passo 1
Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício onde precisamos calcular o potencial devido a um anel circular fino de raio
e massa
em pontos que estão no plano do anel e fora dele. O conteúdo principal aqui envolve o conceito de potencial gravitacional (ou elétrico) gerado por uma distribuição de massa (ou carga). Para resolver isso, vamos precisar usar integrais, especificamente integrais elípticas. Além disso, como a distância do ponto onde queremos calcular o potencial é grande comparada ao raio do anel (
), vamos expandir a expressão do potencial para encontrar o primeiro termo de correção nessa condição.
Passo 2
Expressão Geral do Potencial de um Anel Circular
Primeiramente, vamos lembrar que o potencial
devido a uma distribuição de massa
é dado pela integral:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é um elemento de massa do anel, -
é a distância do elemento de massa até o ponto onde queremos calcular o potencial.
Para um anel circular de raio
, podemos parametrizar a posição dos elementos de massa usando um ângulo
. A distância
do centro do anel até o ponto de interesse é
, e queremos que
.
Passo 3
Relacionando as Distâncias no Problema
Considerando um ponto no plano do anel a uma distância
do centro, a distância
de um elemento de massa no anel até esse ponto pode ser expressa pela relação:
Como
, podemos simplificar essa expressão usando aproximações para facilitar a integração.
Passo 4
Aproximando a Expressão da Distância
Para
, podemos expandir a expressão de
em série de potências de
:
Como queremos o primeiro termo de correção, vamos considerar até
.
Passo 5
Calculando o Potencial com a Aproximação Simplificada
Substituindo a aproximação de
na expressão do potencial:
Como a massa total
do anel está distribuída uniformemente, podemos integrar os termos envolvendo
que, ao integrar de
a
, se anulam. Assim, o primeiro termo não nulo após a integração será aquele envolvendo
.
Passo 6
Identificando o Primeiro Termo de Correção
Após a integração, o potencial fica:
Aqui, o primeiro termo
representa o potencial de uma massa pontual, e o termo
é o primeiro termo de correção devido à distribuição do anel.
Resposta
O potencial devido ao anel circular, para
, é aproximadamente: