Considere um corpo maciço de formato arbitrário e uma superfície esférica que seja exterior ao corpo e não o contenha. Mostre que o valor médio do potencial devido ao corpo tomado pela superfície esférica é igual ao valor do potencial no centro da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente considerar um corpo maciço de forma qualquer e uma superfície esférica que fica por fora desse corpo. A ideia é mostrar que, se calcularmos a média do potencial elétrico gerado pelo corpo nessa superfície esférica, esse valor médio vai ser igual ao potencial no centro da esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre potenciais elétricos e simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico () criado por uma distribuição de carga num ponto é dado por:
Aqui, é a densidade de carga no ponto , e é o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
Como a superfície é esférica e está fora do corpo, podemos usar a simetria esférica para simplificar as coisas. A simetria nos diz que, para uma superfície esférica que envolve uma distribuição de carga, o potencial em cada ponto da superfície depende apenas da distância ao centro da esfera.
Passo 4
Agora, para encontrar o valor médio do potencial na superfície esférica, a gente integra o potencial em toda a superfície e divide pela área total da superfície. A área de uma esfera é , onde é o raio da esfera.
Então, a média do potencial () é:
Passo 5
Substituindo a expressão do potencial na integral, temos:
Aqui, e são os ângulos que parametrize a posição na superfície esférica.
Passo 6
Devido à simetria esférica, a integral sobre e simplifica, já que o potencial no centro da esfera é constante. Ou seja, todas as partes da superfície contribuem igualmente para a média.
Passo 7
Isso significa que a média do potencial na superfície é igual ao potencial no centro da esfera. Portanto:
Resposta
O valor médio do potencial devido ao corpo na superfície esférica é igual ao potencial no centro da esfera.