Considere um corpo maciço de formato arbitrário e uma superfície esférica que seja exterior ao corpo e não o contenha. Mostre que o valor médio do potencial devido ao corpo tomado pela superfície esférica é igual ao valor do potencial no centro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente considerar um corpo maciço de forma qualquer e uma superfície esférica que fica por fora desse corpo. A ideia é mostrar que, se calcularmos a média do potencial elétrico gerado pelo corpo nessa superfície esférica, esse valor médio vai ser igual ao potencial no centro da esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre potenciais elétricos e simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico ( ) criado por uma distribuição de carga num ponto é dado por:
Aqui, é a densidade de carga no ponto , e é o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Como a superfície é esférica e está fora do corpo, podemos usar a simetria esférica para simplificar as coisas. A simetria nos diz que, para uma superfície esférica que envolve uma distribuição de carga, o potencial em cada ponto da superfície depende apenas da distância ao centro da esfera.

Passo 4

Agora, para encontrar o valor médio do potencial na superfície esférica, a gente integra o potencial em toda a superfície e divide pela área total da superfície. A área de uma esfera é , onde é o raio da esfera.
Então, a média do potencial ( ) é:

Passo 5

Substituindo a expressão do potencial na integral, temos:
Aqui, e são os ângulos que parametrize a posição na superfície esférica.

Passo 6

Devido à simetria esférica, a integral sobre e simplifica, já que o potencial no centro da esfera é constante. Ou seja, todas as partes da superfície contribuem igualmente para a média.

Passo 7

Isso significa que a média do potencial na superfície é igual ao potencial no centro da esfera. Portanto:

Resposta

O valor médio do potencial devido ao corpo na superfície esférica é igual ao potencial no centro da esfera.

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Calcule o potencial devido a um anel circular fino de raio e massa para os pontos no plano do anel e exteriores a ele. O resultado pode ser expresso como uma integral elíptica. Suponha que a distância do centro do anel para o ponto do campo é grande se comparada com o raio do anel. Expanda a expressão para o potencial e encontre o primeiro termo de correção.
Encontre o potencial em pontos fora do eixo devido a um anel circular de raio e massa . Considere como a distância do centro do anel ao ponto de campo e como o ângulo entre a linha que conecta o centro do anel com o ponto de campo e o eixo do anel. Suponha que de forma que os termos de ordem e superior possam ser desconsiderados.
No instante representado, e , e a distância entre e está diminuindo na taxa de . Determine a velocidade em comum dos pontos e para esse instante.
Resp.
Find the transformation matrix that rotates a rectangular coordinate system through an angle of about an axis making equal angles with the original three coordinate axes.