Encontre o potencial em pontos fora do eixo devido a um anel circular de raio
e massa
. Considere
como a distância do centro do anel ao ponto de campo e
como o ângulo entre a linha que conecta o centro do anel com o ponto de campo e o eixo do anel. Suponha que
de forma que os termos de ordem
e superior possam ser desconsiderados.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o potencial em pontos fora do eixo gerado por um anel circular de raio
e massa
. A gente vai trabalhar com a distância
do centro do anel até o ponto onde queremos calcular o potencial, e o ângulo
entre essa linha e o eixo do anel. Além disso, diz que
é muito maior que
(ou seja,
), então podemos ignorar termos de ordem
e superiores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física gravitacional e matemática de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do potencial gravitacional devido a uma massa
em um ponto a uma distância
:
Aqui,
é a constante gravitacional. No caso do anel, precisamos integrar essa expressão ao longo de todo o anel.
Passo 3
Como o anel é circular e tem simetria, vamos considerar um elemento de massa
do anel. A distância desse elemento até o ponto onde queremos calcular o potencial depende do ângulo
e das distâncias
e
. Usando o teorema do cosseno, a distância
entre
e o ponto é:
Mas, como
, podemos simplificar essa expressão usando uma expansão em série binomial.
Passo 4
Expandindo a expressão de
para
pequeno, temos:
Como vamos ignorar termos de ordem
e superiores, ficamos com:
Passo 5
Agora, substituímos essa aproximação na fórmula do potencial:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 6
O primeiro termo,
, integra para:
Já que a massa total do anel é
.
Passo 7
O segundo termo,
, integra para zero. Isso porque, ao redor do anel completo, as contribuições positivas e negativas de
se cancelam devido à simetria.
Passo 8
O terceiro termo,
, integra para:
Aqui, usamos que a média de
sobre o anel é
.
Passo 9
Simplificando, temos:
Resposta
Portanto, o potencial no ponto considerado é: