Encontre o potencial em pontos fora do eixo devido a um anel circular de raio a e massa M. Considere R como a distância do centro do anel ao ponto de campo e theta como o ângulo entre a linha que conecta o centro do anel com o ponto de campo e o eixo do anel. Suponha que R gg a de forma que os termos de ordem (a / R)^3 e superior possam ser desconsiderados.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o potencial em pontos fora do eixo gerado por um anel circular de raio e massa . A gente vai trabalhar com a distância do centro do anel até o ponto onde queremos calcular o potencial, e o ângulo entre essa linha e o eixo do anel. Além disso, diz que é muito maior que (ou seja, ), então podemos ignorar termos de ordem e superiores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física gravitacional e matemática de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do potencial gravitacional devido a uma massa V = -G mr em um ponto a uma distância :
Aqui, é a constante gravitacional. No caso do anel, precisamos integrar essa expressão ao longo de todo o anel.

Passo 3

Como o anel é circular e tem simetria, vamos considerar um elemento de massa r = raizR^2 + a^2 - 2aR costheta do anel. A distância desse elemento até o ponto onde queremos calcular o potencial depende do ângulo e das distâncias e . Usando o teorema do cosseno, a distância entre e o ponto é:
Mas, como , podemos simplificar essa expressão usando uma expansão em série binomial.

Passo 4

Expandindo a expressão de r approx R - a costheta + a^2 sin^2theta2R + dots para 1r approx 1R + a costhetaR^2 + a^2 (3cos^2theta - 1)2R^3 pequeno, temos:
Como vamos ignorar termos de ordem e superiores, ficamos com:

Passo 5

Agora, substituímos essa aproximação na fórmula do potencial:
V = -G integral dmr approx -G integral ( dmR + a costheta , dmR^2 + a^2 (3cos^2theta - 1) dm2R^3 )
Vamos integrar termo a termo.

Passo 6

O primeiro termo, integral dmR = MR , integra para:
Já que a massa total do anel é .

Passo 7

O segundo termo, , integra para zero. Isso porque, ao redor do anel completo, as contribuições positivas e negativas de se cancelam devido à simetria.

Passo 8

O terceiro termo, integral a^2 (3cos^2theta - 1) dm2R^3 = a^22R^3 cdot M cdot ( 32 ) , integra para:
Aqui, usamos que a média de sobre o anel é .

Passo 9

Simplificando, temos:
a^22R^3 cdot M cdot 32 = 3Ma^24R^3

Resposta

Portanto, o potencial no ponto considerado é:
V = -G ( MR + 3Ma^24R^3 )

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