Calcule o potencial a uma distância
de um fio carregado muito longo, com uma densidade de carga linear
. Quais considerações podem ser feitas sobre o ponto no qual o potencial vai ser igual a zero?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o potencial elétrico a uma distância
de um fio carregado muito longo com uma densidade de carga linear
. Para isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, como o campo elétrico ao redor de um fio infinito e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico gerado por um fio infinito com densidade de carga linear
. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que é super útil para simetria cilíndrica. Imaginamos uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial com o fio.
O campo elétrico
devido a um fio infinito é dado por:
onde:
-
é a densidade de carga linear, -
é a permissividade do vácuo, -
é a distância do fio.
Passo 3
Agora, para encontrar o potencial elétrico
, precisamos integrar o campo elétrico. Sabemos que:
Substituindo o valor de
:
A integral de
em relação a
é
, então temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Precisamos determinar o valor de
. Geralmente, escolhemos um ponto de referência onde o potencial é zero. Para fios infinitos, escolher
não funciona porque o logaritmo de infinito não é definido. Então, escolhemos um ponto
onde
.
Aplicando isso:
Substituindo
na expressão do potencial:
Resposta
O potencial elétrico a uma distância
do fio é dado por:
Além disso, o ponto onde o potencial é igual a zero ocorre quando
, que é o ponto de referência escolhido para definir
.
Exercícios relacionados
Determine o campo elétrico,
, produzido por um anel de raio
(com expessura desprezível), que possui um densidade linear de carga positiva e uniforme
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. O fio possui uma densidade linear de carga constante
, enquanto a casca possui uma densidade
.
Determine a diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro maciço e um ponto na casca.
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. O fio possui uma densidade linear de carga constante
, enquanto a casca possui uma densidade
.
Determine a capacitância por unidade de comprimento do sistema.
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