Calcule o potencial a uma distância r de um fio carregado muito longo, com uma densidade de carga linear lambda. Quais considerações podem ser feitas sobre o ponto no qual o potencial vai ser igual a zero?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o potencial elétrico a uma distância de um fio carregado muito longo com uma densidade de carga linear . Para isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, como o campo elétrico ao redor de um fio infinito e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico gerado por um fio infinito com densidade de carga linear E = lambda2pi varepsilon0 r . Para isso, usamos a Lei de Gauss, que é super útil para simetria cilíndrica. Imaginamos uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial com o fio.
O campo elétrico devido a um fio infinito é dado por:
onde:
  • é a densidade de carga linear,
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a distância do fio.

Passo 3

Agora, para encontrar o potencial elétrico V(r) = - integral E , dr , precisamos integrar o campo elétrico. Sabemos que:
V(r) = - integral lambda2pi varepsilon0 r , dr
Substituindo o valor de V(r) = - lambda2pi varepsilon0 ln r + C :
A integral de em relação a é , então temos:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Precisamos determinar o valor de 0 = - lambda2pi varepsilon0 ln r0 + C implies C = lambda2pi varepsilon0 ln r0 . Geralmente, escolhemos um ponto de referência onde o potencial é zero. Para fios infinitos, escolher V(r) = lambda2pi varepsilon0 ln ( r0r ) não funciona porque o logaritmo de infinito não é definido. Então, escolhemos um ponto onde .
Aplicando isso:
Substituindo na expressão do potencial:

Resposta

O potencial elétrico a uma distância V(r) = lambda2pi varepsilon0 ln ( r0r ) do fio é dado por:
Além disso, o ponto onde o potencial é igual a zero ocorre quando , que é o ponto de referência escolhido para definir .

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