Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor maciço e infinito de raio a e uma casca condutora cilíndrica (fina), também infinita e coaxial ao cilindro, de raio . O fio possui uma densidade linear de carga constante , enquanto a casca possui uma densidade .
Determine a diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro maciço e um ponto na casca.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos aqui um capacitor cilíndrico formado por um cilindro condutor maciço infinito de raio e uma casca condutora cilíndrica fina, também infinita e coaxial, de raio (onde ). O cilindro tem uma densidade linear de carga constante e a casca tem uma densidade . Nosso objetivo é determinar a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície do cilindro maciço e um ponto na casca. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Lei de Gauss e integração do campo elétrico para encontrar o potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico entre os dois cilindros, ou seja, na região onde . Para isso, aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que:
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, o campo elétrico será radial e de mesma magnitude em qualquer ponto a uma distância do eixo. A superfície gaussiana será um cilindro coaxial com raio e comprimento .
A carga encerrada é apenas a carga do cilindro interno, já que a casca externa está fora da superfície gaussiana. Então:
A área da superfície gaussiana é:
Substituindo na Lei de Gauss:
Simplificando :

Passo 3

Agora, para encontrar a diferença de potencial entre os pontos a e , usamos a relação entre campo elétrico e potencial:
Substituindo o valor de :
Essa integral é:

Resposta

A diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro maciço e um ponto na casca é:

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