Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor maciço e infinito de raio a e uma casca condutora cilíndrica (fina), também infinita e coaxial ao cilindro, de raio
. O fio possui uma densidade linear de carga constante
, enquanto a casca possui uma densidade
.
Determine a diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro maciço e um ponto na casca.
Determine a diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro maciço e um ponto na casca.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos aqui um capacitor cilíndrico formado por um cilindro condutor maciço infinito de raio
e uma casca condutora cilíndrica fina, também infinita e coaxial, de raio
(onde
). O cilindro tem uma densidade linear de carga constante
e a casca tem uma densidade
. Nosso objetivo é determinar a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície do cilindro maciço e um ponto na casca. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Lei de Gauss e integração do campo elétrico para encontrar o potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico
entre os dois cilindros, ou seja, na região onde
. Para isso, aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que:
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, o campo elétrico
será radial e de mesma magnitude em qualquer ponto a uma distância
do eixo. A superfície gaussiana será um cilindro coaxial com raio
e comprimento
.
A carga encerrada
é apenas a carga do cilindro interno, já que a casca externa está fora da superfície gaussiana. Então:
A área da superfície gaussiana é:
Substituindo na Lei de Gauss:
Simplificando
:
Passo 3
Agora, para encontrar a diferença de potencial
entre os pontos a
e
, usamos a relação entre campo elétrico e potencial:
Substituindo o valor de
:
Essa integral é:
Resposta
A diferença de potencial entre um ponto na superfície do cilindro maciço e um ponto na casca é:
Exercícios relacionados
Calcule o potencial a uma distância
de um fio carregado muito longo, com uma densidade de carga linear
. Quais considerações podem ser feitas sobre o ponto no qual o potencial vai ser igual a zero?
Determine o campo elétrico,
, produzido por um anel de raio
(com expessura desprezível), que possui um densidade linear de carga positiva e uniforme
, em um ponto situado sobre o eixo principal do anel a uma distância
do seu centro.
Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor maciço e infinito de raio a e uma casca condutora cilíndrica (fina), também infinita e coaxial ao cilindro, de raio
. O fio possui uma densidade linear de carga constante
, enquanto a casca possui uma densidade
.
Determine a capacitância por unidade de comprimento do sistema.
Determine a capacitância por unidade de comprimento do sistema.
Uma pedra é deixada cair em um poço. O som produzido pela pedra ao se chocar com a água é ouvido
depois. Qual é a profundidade do poço?