Determine o campo elétrico, E, produzido por um anel de raio R (com expessura desprezível), que possui um densidade linear de carga positiva e uniforme lambda, em um ponto situado sobre o eixo principal do anel a uma distância x do seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um anel com raio e uma densidade linear de carga uniforme . Queremos descobrir qual é o campo elétrico gerado por esse anel em um ponto que está na linha central (o eixo) do anel, a uma distância do centro. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb e o princípio da superposição dos campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que nos diz que o campo elétrico criado por uma carga pontual E = k qr^2 r a uma distância é:
Onde é a constante eletrostática, e é o vetor unitário na direção do ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 3

Mas como temos um anel contínuo de carga, precisamos somar (integrar) os campos elétricos de todas as cargas pequenas que compõem o anel. Vamos considerar um elemento de carga no anel.
Como o anel tem densidade linear de carga , temos , onde é um elemento de comprimento do anel.

Passo 4

Vamos escolher coordenadas onde o anel está no plano r = raizR^2 + x^2 com o centro na origem, e queremos o campo em um ponto ao longo do eixo a uma distância do centro.
A distância do elemento de carga até o ponto onde queremos calcular o campo é:

Passo 5

O campo elétrico devido a dEz = dE cdot costheta = k dqr^2 cdot xr = k lambda x dL(R^2 + x^2)^3/2 é direcionado ao longo da linha que liga ao ponto . Mas, devido à simetria do anel, as componentes horizontais (no plano ) vão se cancelar, deixando só a componente vertical (ao longo do eixo ).
Então, a componente do campo elétrico na direção devido a é:

Passo 6

Agora, para encontrar o campo total Ez = integral dEz = k lambda x(R^2 + x^2)^3/2 integral dL , vamos integrar ao redor de todo o anel. Como e são constantes, podemos tirar esses termos da integral:
A integral de ao redor do anel é apenas a circunferência do anel, que é .

Passo 7

Substituindo a integral, temos:
Ez = k lambda x(R^2 + x^2)^3/2 cdot 2pi R = 2pi k lambda R x(R^2 + x^2)^3/2

Resposta

O campo elétrico E = 2pi k lambda R x(R^2 + x^2)^3/2 z no ponto desejado é dado por:

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