Determine o campo elétrico,
, produzido por um anel de raio
(com expessura desprezível), que possui um densidade linear de carga positiva e uniforme
, em um ponto situado sobre o eixo principal do anel a uma distância
do seu centro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um anel com raio
e uma densidade linear de carga uniforme
. Queremos descobrir qual é o campo elétrico
gerado por esse anel em um ponto que está na linha central (o eixo) do anel, a uma distância
do centro. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb e o princípio da superposição dos campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que nos diz que o campo elétrico criado por uma carga pontual
a uma distância
é:
Onde
é a constante eletrostática, e
é o vetor unitário na direção do ponto onde estamos calculando o campo.
Passo 3
Mas como temos um anel contínuo de carga, precisamos somar (integrar) os campos elétricos de todas as cargas pequenas que compõem o anel. Vamos considerar um elemento de carga
no anel.
Como o anel tem densidade linear de carga
, temos
, onde
é um elemento de comprimento do anel.
Passo 4
Vamos escolher coordenadas onde o anel está no plano
com o centro na origem, e queremos o campo em um ponto ao longo do eixo
a uma distância
do centro.
A distância do elemento de carga
até o ponto onde queremos calcular o campo é:
Passo 5
O campo elétrico devido a
é direcionado ao longo da linha que liga
ao ponto
. Mas, devido à simetria do anel, as componentes horizontais (no plano
) vão se cancelar, deixando só a componente vertical (ao longo do eixo
).
Então, a componente do campo elétrico na direção
devido a
é:
Passo 6
Agora, para encontrar o campo total
, vamos integrar
ao redor de todo o anel. Como
e
são constantes, podemos tirar esses termos da integral:
A integral de
ao redor do anel é apenas a circunferência do anel, que é
.
Passo 7
Substituindo a integral, temos:
Resposta
O campo elétrico
no ponto desejado é dado por: