Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor maciço e infinito de raio a e uma casca condutora cilíndrica (fina), também infinita e coaxial ao cilindro, de raio
. O fio possui uma densidade linear de carga constante
, enquanto a casca possui uma densidade
.
Determine a capacitância por unidade de comprimento do sistema.
Determine a capacitância por unidade de comprimento do sistema.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um capacitor cilíndrico formado por dois condutores coaxiais: um cilindro maciço infinito de raio
com densidade linear de carga
e uma casca cilíndrica fina infinita de raio
(
) com densidade linear de carga
. Nosso objetivo é determinar a capacitância por unidade de comprimento desse sistema.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e diferença de potencial entre os condutores, além da fórmula que relaciona esses conceitos à capacitância.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico produzido pelo cilindro carregado. Para um cilindro infinito com densidade linear de carga
, o campo elétrico a uma distância
do eixo do cilindro (onde
) é dado por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Em seguida, precisamos encontrar a diferença de potencial elétrico entre o cilindro de raio
e a casca de raio
. A diferença de potencial
é a integral do campo elétrico
ao longo da distância entre os dois condutores:
Passo 4
Vamos resolver a integral para encontrar
:
Passo 5
Agora, sabemos que capacitância
está relacionada à carga
e à diferença de potencial
pela fórmula:
Neste caso, como estamos trabalhando com densidade linear de carga
por unidade de comprimento, a capacitância por unidade de comprimento
será:
Passo 6
Substituindo o valor de
que encontramos:
Resposta
A capacitância por unidade de comprimento do sistema é: