Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor maciço e infinito de raio a e uma casca condutora cilíndrica (fina), também infinita e coaxial ao cilindro, de raio b(b>a). O fio possui uma densidade linear de carga constante +lambda, enquanto a casca possui uma densidade -lambda.
Determine a capacitância por unidade de comprimento do sistema.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um capacitor cilíndrico formado por dois condutores coaxiais: um cilindro maciço infinito de raio com densidade linear de carga e uma casca cilíndrica fina infinita de raio ( ) com densidade linear de carga . Nosso objetivo é determinar a capacitância por unidade de comprimento desse sistema.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e diferença de potencial entre os condutores, além da fórmula que relaciona esses conceitos à capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico produzido pelo cilindro carregado. Para um cilindro infinito com densidade linear de carga E(r) = lambda2pi varepsilon0 r , o campo elétrico a uma distância do eixo do cilindro (onde ) é dado por:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar a diferença de potencial elétrico entre o cilindro de raio V = integrala^b E(r) , dr = integrala^b lambda2pi varepsilon0 r , dr e a casca de raio . A diferença de potencial é a integral do campo elétrico ao longo da distância entre os dois condutores:

Passo 4

Vamos resolver a integral para encontrar V = lambda2pi varepsilon0 integrala^b 1r , dr = lambda2pi varepsilon0 [ ln(r) ]a^b = lambda2pi varepsilon0 ln( ba ) :

Passo 5

Agora, sabemos que capacitância C = QV está relacionada à carga C' = lambdaV e à diferença de potencial pela fórmula:
Neste caso, como estamos trabalhando com densidade linear de carga por unidade de comprimento, a capacitância por unidade de comprimento será:

Passo 6

Substituindo o valor de C' = lambdalambda2pi varepsilon0 ln( ba ) = 2pi varepsilon0ln( ba ) que encontramos:

Resposta

A capacitância por unidade de comprimento do sistema é:
C' = 2pi varepsilon0ln( ba )

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