Considere três cargas no eixo
em
,
em
e
em
. Uma força externa transporta a carga teste
no caminho entre pontos inicial
e final
. Calcule trabalho realizado pela força, energia da carga
em ponto
e em ponto
. Compare a diferença de energias da carga
em pontos
e
com o trabalho realizado pela força externa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três cargas elétricas alinhadas no eixo $ x $ e uma carga de teste $ q_0 $ que está sendo transportada de um ponto $ P_0 $ para $ P_1 $. A matéria que vamos usar aqui é Eletrostática, especificamente conceitos de força elétrica, potencial elétrico e trabalho realizado por forças elétricas. Para resolver, vamos precisar das leis de Coulomb para calcular as forças entre as cargas e entender como o potencial elétrico se comporta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as posições das cargas:
- $ q_1 = q $ está em $ x = -a $
- $ q_2 = -2q $ está em $ x = 0 $
- $ q_3 = q $ está em $ x = a $
A carga de teste $ q_0 $ está se movendo de $ P_0 \left( x_0 = -\frac{a}{2}, y_0 \right) $ para $ P_1 \left( x_1 = -\frac{a}{2}, y_1 \right) $. Notamos que a coordenada $ x $ permanece a mesma, ou seja, $ x = -\frac{a}{2} $, e apenas a coordenada $ y $ muda de $ y_0 $ para $ y_1 $.
Passo 3
Para calcular o trabalho realizado pela força externa, usamos a relação entre trabalho e potencial elétrico. O trabalho $ W $ realizado por uma força externa para mover uma carga de um ponto a outro é igual à variação da energia potencial elétrica:
Onde $ U§ $ é a energia potencial elétrica da carga $ q_0 $ no ponto $ P $.
Passo 4
Vamos calcular a energia potencial $ U $ em cada ponto $ P_0 $ e $ P_1 $. A energia potencial de uma carga $ q_0 $ devido a outras cargas é dada por:
Onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $), $ q_i $ são as cargas que geram o campo elétrico, e $ r_i $ é a distância entre $ q_i $ e $ q_0 $.
Passo 5
Vamos calcular $ U(P_0) $:
As distâncias entre $ q_0 $ e cada carga $ q_i $ em $ P_0 $:
- Distância para $ q_1 $: $ r_1 = \sqrt{\left(-\frac{a}{2} - (-a)\right)^2 + y_0^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + y_0^2} $
- Distância para $ q_2 $: $ r_2 = \sqrt{\left(-\frac{a}{2} - 0\right)^2 + y_0^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + y_0^2} $
- Distância para $ q_3 $: $ r_3 = \sqrt{\left(-\frac{a}{2} - a\right)^2 + y_0^2} = \sqrt{\left(\frac{3a}{2}\right)^2 + y_0^2} $
Então,
Passo 6
Simplificando $ U(P_0) $:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ U(P_1) $. O processo é similar, mas com $ y_1 $ no lugar de $ y_0 $:
Passo 8
Agora, calculamos a diferença de energias:
Passo 9
Segundo a relação que vimos no Passo 3, o trabalho realizado pela força externa é igual a essa diferença de energias:
Resposta
O trabalho realizado pela força externa para transportar a carga $ q_0 $ de $ P_0 $ para $ P_1 $ é igual à diferença da energia potencial elétrica da carga nos pontos finais e iniciais. Ou seja,
Isso mostra que a diferença de energias da carga $ q_0 $ entre os pontos $ P_0 $ e $ P_1 $ é exatamente o trabalho realizado pela força externa durante o transporte.