Considere três cargas no eixo x: q1=q em x=-a, q2=-2 q em x=0 e q3=q em x=a. Uma força externa transporta a carga teste q0 no caminho entre pontos inicial P0(x0=-a2, y0) e final P1(x1=-a2, y1). Calcule trabalho realizado pela força, energia da carga q0 em ponto P0 e em ponto P1. Compare a diferença de energias da carga q0 em pontos P0 e P1 com o trabalho realizado pela força externa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três cargas elétricas alinhadas no eixo $ x $ e uma carga de teste $ q_0 $ que está sendo transportada de um ponto $ P_0 $ para $ P_1 $. A matéria que vamos usar aqui é Eletrostática, especificamente conceitos de força elétrica, potencial elétrico e trabalho realizado por forças elétricas. Para resolver, vamos precisar das leis de Coulomb para calcular as forças entre as cargas e entender como o potencial elétrico se comporta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as posições das cargas:
  • $ q_1 = q $ está em $ x = -a $
  • $ q_2 = -2q $ está em $ x = 0 $
  • $ q_3 = q $ está em $ x = a $
A carga de teste $ q_0 $ está se movendo de $ P_0 \left( x_0 = -\frac{a}{2}, y_0 \right) $ para $ P_1 \left( x_1 = -\frac{a}{2}, y_1 \right) $. Notamos que a coordenada $ x $ permanece a mesma, ou seja, $ x = -\frac{a}{2} $, e apenas a coordenada $ y $ muda de $ y_0 $ para $ y_1 $.

Passo 3

Para calcular o trabalho realizado pela força externa, usamos a relação entre trabalho e potencial elétrico. O trabalho $ W $ realizado por uma força externa para mover uma carga de um ponto a outro é igual à variação da energia potencial elétrica:
W
Onde $ U§ $ é a energia potencial elétrica da carga $ q_0 $ no ponto $ P $.

Passo 4

Vamos calcular a energia potencial $ U $ em cada ponto $ P_0 $ e $ P_1 $. A energia potencial de uma carga $ q_0 $ devido a outras cargas é dada por:
U
Onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k \approx 8,99 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $), $ q_i $ são as cargas que geram o campo elétrico, e $ r_i $ é a distância entre $ q_i $ e $ q_0 $.

Passo 5

Vamos calcular $ U(P_0) $:
As distâncias entre $ q_0 $ e cada carga $ q_i $ em $ P_0 $:
  • Distância para $ q_1 $: $ r_1 = \sqrt{\left(-\frac{a}{2} - (-a)\right)^2 + y_0^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + y_0^2} $
  • Distância para $ q_2 $: $ r_2 = \sqrt{\left(-\frac{a}{2} - 0\right)^2 + y_0^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + y_0^2} $
  • Distância para $ q_3 $: $ r_3 = \sqrt{\left(-\frac{a}{2} - a\right)^2 + y_0^2} = \sqrt{\left(\frac{3a}{2}\right)^2 + y_0^2} $
Então,
U(P0)

Passo 6

Simplificando $ U(P_0) $:
U(P0)
U(P0) = k q q0 ( 1raiz(a2)^2 + y0^2 - 2raiz(a2)^2 + y0^2 + 1raiz(3a2)^2 + y0^2 )

Passo 7

Agora, vamos calcular $ U(P_1) $. O processo é similar, mas com $ y_1 $ no lugar de $ y_0 $:
U(P1)

Passo 8

Agora, calculamos a diferença de energias:
U(P1) - U(P0) = k q q0 ( -1raiz(a2)^2 + y1^2 + 1raiz(3a2)^2 + y1^2 + 1raiz(a2)^2 + y0^2 - 1raiz(3a2)^2 + y0^2 )

Passo 9

Segundo a relação que vimos no Passo 3, o trabalho realizado pela força externa é igual a essa diferença de energias:
W = U(P1) - U(P0)

Resposta

O trabalho realizado pela força externa para transportar a carga $ q_0 $ de $ P_0 $ para $ P_1 $ é igual à diferença da energia potencial elétrica da carga nos pontos finais e iniciais. Ou seja,
q0
Isso mostra que a diferença de energias da carga $ q_0 $ entre os pontos $ P_0 $ e $ P_1 $ é exatamente o trabalho realizado pela força externa durante o transporte.

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