Um cilindro de raio R e comprimento L, contém uma densidade volumétrica de cargas elétricas rho(z^prime). Calcule o potencial e o campo elétrico em pontos situados sobre o eixo de simetria do cilindro, considerando que: (a) rho(z^prime)=rho0 e (b) rho(z^prime)=rho0 z^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um cilindro com raio R e comprimento L, e uma densidade volumétrica de carga elétrica rho(z') que pode variar ao longo do eixo do cilindro. O que a gente precisa fazer é calcular o potencial elétrico e o campo elétrico em pontos que estão sobre o eixo de simetria desse cilindro. Vamos considerar dois casos: (a) quando a densidade de carga é constante, ou seja, rho(z') = rho0, e (b) quando ela varia linearmente com z', ou seja, rho(z') = rho0 z'. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente as fórmulas para potencial elétrico e campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V em um ponto devido a uma distribuição de carga é dado pela integral:
V = 14pi varepsilon0 integral dqr
Onde:
  • dq é um elemento de carga,
  • r é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
Como estamos considerando pontos ao longo do eixo de simetria, a distância r vai depender apenas da coordenada z' do elemento de carga.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de carga no cilindro localizado a uma posição z' ao longo do eixo. A carga desse elemento é:
dq = rho(z') cdot dV
Como o cilindro tem um raio R e estamos ao longo do eixo, o volume desse elemento pode ser escrito como:
dV = pi R^2 dz'
Então, substituindo:
dq = rho(z') pi R^2 dz'

Passo 4

Agora, vamos expressar a distância r entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial. Suponha que estamos calculando o potencial em um ponto localizado a uma distância z do centro do cilindro ao longo do eixo.
A distância entre o ponto z e o elemento de carga z' é:
r = |z - z'|

Passo 5

Com isso, podemos escrever a expressão para o potencial:
V(z) = 14pi varepsilon0 integral-L/2^L/2 rho(z') pi R^2 dz'|z - z'|
Note que integramos de -L/2 a L/2 porque o cilindro tem comprimento L centrado no ponto z=0.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
V(z) = rho0 pi R^24pi varepsilon0 integral-L/2^L/2 dz'|z - z'|
Cancelando os pi:
V(z) = rho0 R^24 varepsilon0 integral-L/2^L/2 dz'|z - z'|

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral:
integral-L/2^L/2 dz'|z - z'|
Isso depende de como z se relaciona com os limites de integração. Vamos assumir que z está fora do cilindro, ou seja, |z| > L/2.
Nesse caso, a integral se resolve facilmente:
integral-L/2^L/2 dz'z - z' = ln|z - (-L/2)z - L/2|
Então,
V(z) = rho0 R^24 varepsilon0 ln|z + L/2z - L/2|

Passo 8

Agora, para encontrar o campo elétrico E(z), sabemos que ele está relacionado ao potencial pela derivada:
E(z) = -dVdz
Vamos derivar a expressão que encontramos para V(z):
E(z) = -rho0 R^24 varepsilon0 cdot ddz ln(z + L/2z - L/2)
A derivada de ln(a/b) é b a' - a b'ab, então:
E(z) = -rho0 R^24 varepsilon0 cdot ((z - L/2) - (z + L/2)(z + L/2)(z - L/2))
Simplificando:
E(z) = -rho0 R^24 varepsilon0 cdot (-Lz^2 - (L/2)^2) = rho0 R^2 L4 varepsilon0 (z^2 - (L/2)^2)

Resposta

Então, para o caso (a) onde rho(z') = rho0, temos:
O potencial elétrico no ponto z é:
V(z) = rho0 R^24 varepsilon0 ln(z + L/2z - L/2)
E o campo elétrico nesse ponto é:
E(z) = rho0 R^2 L4 varepsilon0 (z^2 - (L/2)^2)

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