Um cilindro de raio e comprimento , contém uma densidade volumétrica de cargas elétricas . Calcule o potencial e o campo elétrico em pontos situados sobre o eixo de simetria do cilindro, considerando que: (a) e (b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um cilindro com raio e comprimento , e uma densidade volumétrica de carga elétrica que pode variar ao longo do eixo do cilindro. O que a gente precisa fazer é calcular o potencial elétrico e o campo elétrico em pontos que estão sobre o eixo de simetria desse cilindro. Vamos considerar dois casos: (a) quando a densidade de carga é constante, ou seja, , e (b) quando ela varia linearmente com , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente as fórmulas para potencial elétrico e campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico em um ponto devido a uma distribuição de carga é dado pela integral:
Onde:
é um elemento de carga,
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial,
é a permissividade do vácuo.
Como estamos considerando pontos ao longo do eixo de simetria, a distância vai depender apenas da coordenada do elemento de carga.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de carga no cilindro localizado a uma posição ao longo do eixo. A carga desse elemento é:
Como o cilindro tem um raio e estamos ao longo do eixo, o volume desse elemento pode ser escrito como:
Então, substituindo:
Passo 4
Agora, vamos expressar a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial. Suponha que estamos calculando o potencial em um ponto localizado a uma distância do centro do cilindro ao longo do eixo.
A distância entre o ponto e o elemento de carga é:
Passo 5
Com isso, podemos escrever a expressão para o potencial:
Note que integramos de a porque o cilindro tem comprimento centrado no ponto .
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Cancelando os :
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral:
Isso depende de como se relaciona com os limites de integração. Vamos assumir que está fora do cilindro, ou seja, .
Nesse caso, a integral se resolve facilmente:
Então,
V(z) = rho0 R^24 varepsilon0 ln|z + L/2z - L/2|
Passo 8
Agora, para encontrar o campo elétrico E(z), sabemos que ele está relacionado ao potencial pela derivada:
E(z) = -dVdz
Vamos derivar a expressão que encontramos para V(z):