Calcule o potencial eletrostático, partindo dos momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo, para dois anéis concêntricos, coplanares, de raios a e b(a>b), possuindo cargas respectivamente iguais a +q e -q, uniformemente distribuídas. Sugestão: considere os anéis no plano xy, sendo z o eixo de simetria.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos dois anéis que estão um dentro do outro, no mesmo plano (o plano xy), com raios diferentes: o de raio maior é e tem carga positiva , e o de raio menor é com carga negativa , sendo . Queremos calcular o potencial eletrostático usando os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre expansões multipolares na eletrostática e aplicar as fórmulas correspondentes para cada momento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento monopolar. O momento monopolar é simplesmente a soma total das cargas no sistema. Nesse caso, temos Q = qmaior + qmenor = +q + (-q) = 0 no anel maior e no anel menor.
Então, o momento monopolar é zero.

Passo 3

Agora, vamos para o momento dipolar. O momento dipolar p = sum qi ri = 0 é definido como a soma das cargas multiplicadas pela posição de cada carga. Mas como as cargas estão distribuídas simetricamente nos anéis e estão no mesmo plano, o dipolo resultante também será zero devido à simetria.
Portanto, o momento dipolar também é zero.

Passo 4

Em seguida, calculamos o momento de quadrupolo. O momento quadrupolar considera a distribuição das cargas de uma forma mais detalhada, levando em conta como as cargas estão distribuídas em relação ao eixo de simetria (no caso, o eixo z). A expressão geral para o potencial de quadrupolo é mais complexa, mas para anéis circulares podemos simplificar considerando a simetria do problema.
Para anéis concêntricos e coplanares, o momento quadrupolar não é zero e contribui para o potencial eletrostático. A expressão do potencial de quadrupolo Vquad(z) = 14pivarepsilon0 Qzz z^2(z^2 + a^2)^5/2 no eixo z pode ser obtida utilizando a fórmula:
Onde é o componente do tensor de quadrupolo.

Passo 5

Calculando Qzz = q a^2 - q b^2 = q(a^2 - b^2) , lembrando que os anéis têm cargas Vquad(z) = 14pivarepsilon0 q(a^2 - b^2) z^2(z^2 + a^2)^5/2 e e estão a distâncias e do centro:
Substituindo na expressão do potencial de quadrupolo:

Passo 6

Finalmente, juntando tudo, já que os momentos monopolar e dipolar são nulos, o potencial eletrostático total V(z) = Vquad(z) = q(a^2 - b^2) z^24pivarepsilon0 (z^2 + a^2)^5/2 no eixo z é dado apenas pelo termo de quadrupolo:

Resposta

O potencial eletrostático no eixo z é:
V(z) = q(a^2 - b^2) z^24pivarepsilon0 (z^2 + a^2)^5/2

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