Calcule o potencial eletrostático, partindo dos momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo, para dois anéis concêntricos, coplanares, de raios
e
, possuindo cargas respectivamente iguais a
e
, uniformemente distribuídas. Sugestão: considere os anéis no plano xy, sendo z o eixo de simetria.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos dois anéis que estão um dentro do outro, no mesmo plano (o plano xy), com raios diferentes: o de raio maior é
e tem carga positiva
, e o de raio menor é
com carga negativa
, sendo
. Queremos calcular o potencial eletrostático usando os momentos de monopolo, dipolo e quadrupolo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre expansões multipolares na eletrostática e aplicar as fórmulas correspondentes para cada momento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento monopolar. O momento monopolar é simplesmente a soma total das cargas no sistema. Nesse caso, temos
no anel maior e
no anel menor.
Então, o momento monopolar é zero.
Passo 3
Agora, vamos para o momento dipolar. O momento dipolar
é definido como a soma das cargas multiplicadas pela posição de cada carga. Mas como as cargas estão distribuídas simetricamente nos anéis e estão no mesmo plano, o dipolo resultante também será zero devido à simetria.
Portanto, o momento dipolar também é zero.
Passo 4
Em seguida, calculamos o momento de quadrupolo. O momento quadrupolar considera a distribuição das cargas de uma forma mais detalhada, levando em conta como as cargas estão distribuídas em relação ao eixo de simetria (no caso, o eixo z). A expressão geral para o potencial de quadrupolo é mais complexa, mas para anéis circulares podemos simplificar considerando a simetria do problema.
Para anéis concêntricos e coplanares, o momento quadrupolar não é zero e contribui para o potencial eletrostático. A expressão do potencial de quadrupolo
no eixo z pode ser obtida utilizando a fórmula:
Onde
é o componente do tensor de quadrupolo.
Passo 5
Calculando
, lembrando que os anéis têm cargas
e
e estão a distâncias
e
do centro:
Substituindo na expressão do potencial de quadrupolo:
Passo 6
Finalmente, juntando tudo, já que os momentos monopolar e dipolar são nulos, o potencial eletrostático total
no eixo z é dado apenas pelo termo de quadrupolo:
Resposta
O potencial eletrostático no eixo z é:
Exercícios relacionados
Suponha que a dependência de
em relação a
e
possa ser expressa como
, onde
e suas derivadas primeira e segunda são contínuas.
Mostre que: .
Mostre que:
Determine todas as componentes do tensor de quadrupolo elétrico
para uma distribuição volumétrica de carga homogênea
para um elipsóide que satisfaz
. (Dica: considere as coordenadas
tal que
.)
Qual a menor altura de um espelho plano vertical para que uma pessoa com altura
possa ver sua imagem completa no espelho?
Demonstre a relação imagem-objeto
para um espelho esférico de raio
tal que o foco seja dado por
. O objeto está localizado em
e a imagem em
.