Determine todas as componentes do tensor de quadrupolo elétrico
para uma distribuição volumétrica de carga homogênea
para um elipsóide que satisfaz
. (Dica: considere as coordenadas
tal que
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos todas as componentes do tensor de quadrupolo elétrico
para uma distribuição volumétrica de carga homogênea
dentro de um elipsóide definido por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o tensor de quadrupolo, e coordenadas elipsoidais para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de quadrupolo elétrico. Ele é uma generalização do momento dipolar e é usado para descrever distribuições de carga que não têm dipolo líquido, mas possuem uma distribuição mais complexa. A expressão geral para o tensor de quadrupolo é:
Aqui,
é a densidade de carga,
e
são as coordenadas espaciais,
é a distância ao ponto de referência, e
é o delta de Kronecker.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas elipsoidais dadas no enunciado:
Nessas coordenadas, o elemento de volume
se transforma em:
onde
é o determinante da jacobiana da transformação. Calculando a jacobiana para essa transformação, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir as coordenadas e o elemento de volume na expressão do tensor de quadrupolo:
Vamos calcular cada componente
separadamente.
Para simplificar, notamos que devido à simetria do elipsóide homogêneo, as componentes fora da diagonal serão nulas. Portanto, focamos nas componentes diagonais
,
e
.
Passo 5
Calculando
:
Substituindo
e
:
Simplificando a expressão:
Devido à simetria, realizamos as integrações sobre
e
, e obtemos:
Fazendo o mesmo para
e
, teremos:
Resposta
As componentes não nulas do tensor de quadrupolo elétrico para a distribuição dada são:
Todas as outras componentes são iguais a zero devido à simetria do elipsóide.