Determine todas as componentes do tensor de quadrupolo elétrico para uma distribuição volumétrica de carga homogênea para um elipsóide que satisfaz . (Dica: considere as coordenadas tal que .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos todas as componentes do tensor de quadrupolo elétrico para uma distribuição volumétrica de carga homogênea dentro de um elipsóide definido por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o tensor de quadrupolo, e coordenadas elipsoidais para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de quadrupolo elétrico. Ele é uma generalização do momento dipolar e é usado para descrever distribuições de carga que não têm dipolo líquido, mas possuem uma distribuição mais complexa. A expressão geral para o tensor de quadrupolo é:
Aqui, é a densidade de carga, e são as coordenadas espaciais, é a distância ao ponto de referência, e é o delta de Kronecker.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas elipsoidais dadas no enunciado:
Nessas coordenadas, o elemento de volume se transforma em:
onde é o determinante da jacobiana da transformação. Calculando a jacobiana para essa transformação, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir as coordenadas e o elemento de volume na expressão do tensor de quadrupolo:
Vamos calcular cada componente separadamente.
Para simplificar, notamos que devido à simetria do elipsóide homogêneo, as componentes fora da diagonal serão nulas. Portanto, focamos nas componentes diagonais , e .

Passo 5

Calculando :
Substituindo e :
Simplificando a expressão:
Devido à simetria, realizamos as integrações sobre e , e obtemos:
Fazendo o mesmo para e , teremos:

Resposta

As componentes não nulas do tensor de quadrupolo elétrico para a distribuição dada são:
Todas as outras componentes são iguais a zero devido à simetria do elipsóide.

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