Determine todas as componentes do tensor de quadrupolo elétrico Qi j para uma distribuição volumétrica de carga homogênea rho0 para um elipsóide que satisfaz x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 <= 1. (Dica: considere as coordenadas x=a s sin theta cos varphi, y=b s sin theta sin varphi e z=c s cos theta tal que d x d y d z=J d s d theta d varphi.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos todas as componentes do tensor de quadrupolo elétrico Qij para uma distribuição volumétrica de carga homogênea rho0 dentro de um elipsóide definido por x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 <= 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o tensor de quadrupolo, e coordenadas elipsoidais para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de quadrupolo elétrico. Ele é uma generalização do momento dipolar e é usado para descrever distribuições de carga que não têm dipolo líquido, mas possuem uma distribuição mais complexa. A expressão geral para o tensor de quadrupolo é:
Qij = integral rho(r) (3xi xj - r^2 de
Aqui, rho(r) é a densidade de carga, xi e xj são as coordenadas espaciais, r é a distância ao ponto de referência, e de é o delta de Kronecker.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas elipsoidais dadas no enunciado:
x = a s sin theta cos varphi y = b s sin theta sin varphi z = c s cos theta
Nessas coordenadas, o elemento de volume dV se transforma em:
dV = J , ds , dtheta , dvarphi
onde J é o determinante da jacobiana da transformação. Calculando a jacobiana para essa transformação, temos:
J = abc , s^2 sin theta

Passo 4

Agora, vamos substituir as coordenadas e o elemento de volume na expressão do tensor de quadrupolo:
Qij = rho0 integral (3xi xj - r^2 de
Vamos calcular cada componente Qij separadamente.
Para simplificar, notamos que devido à simetria do elipsóide homogêneo, as componentes fora da diagonal serão nulas. Portanto, focamos nas componentes diagonais Qxx, Qyy e Qzz.

Passo 5

Calculando Qxx:
Qxx = rho0 integral (3x^2 - r^2) J , ds , dtheta , dvarphi
Substituindo x = a s sin theta cos varphi e r^2 = x^2 + y^2 + z^2 = s^2 (a^2 sin^2 theta cos^2 varphi + b^2 sin^2 theta sin^2 varphi + c^2 cos^2 theta):
Qxx = rho0 abc integral0^1 s^2 ds integral0^pi sin theta dtheta integral0^2pi dvarphi [3a^2 s^2 sin^2 theta cos^2 varphi - s^2(a^2 sin^2 theta cos^2 varphi + b^2 sin^2 theta sin^2 varphi + c^2 cos^2 theta)]
Simplificando a expressão:
Qxx = rho0 abc integral0^1 s^4 ds integral0^pi sin theta dtheta integral0^2pi dvarphi [2a^2 sin^2 theta cos^2 varphi - b^2 sin^2 theta sin^2 varphi - c^2 cos^2 theta]
Devido à simetria, realizamos as integrações sobre varphi e theta, e obtemos:
Qxx = 4pi rho0 abc15 (a^2 - b^2)
Fazendo o mesmo para Qyy e Qzz, teremos:
Qyy = 4pi rho0 abc15 (b^2 - a^2)
Qzz = 4pi rho0 abc15 (c^2 - a^2 - b^2)

Resposta

As componentes não nulas do tensor de quadrupolo elétrico para a distribuição dada são:
Qxx = 4pi rho0 abc15 (a^2 - b^2) Qyy = 4pi rho0 abc15 (b^2 - a^2) Qzz = 4pi rho0 abc15 (c^2 - a^2 - b^2)
Todas as outras componentes são iguais a zero devido à simetria do elipsóide.

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