Suponha que a dependência de Bz em relação a x e t possa ser expressa como Bz=f(x-c t), onde f e suas derivadas primeira e segunda são contínuas.
Mostre que: partialpartial x partial Bzpartial t=partialpartial t partial Bzpartial x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função Bz que depende de x e t, e ela é dada por Bz = f(x - ct). O objetivo é mostrar que as derivadas parciais mistas partialpartial x partial Bzpartial t e partialpartial t partial Bzpartial x são iguais. Para isso, vamos precisar usar conhecimento sobre derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de Bz em relação a t. Como Bz = f(x - ct), usamos a regra da cadeia:
partial Bzpartial t = f'(x - ct) cdot partialpartial t(x - ct) = f'(x - ct) cdot (-c) = -c f'(x - ct)
Aqui, f' é a derivada de f em relação ao seu argumento.

Passo 3

Agora, vamos derivar partial Bzpartial t em relação a x:
partialpartial x ( partial Bzpartial t ) = partialpartial x ( -c f'(x - ct) ) = -c cdot f''(x - ct) cdot partialpartial x(x - ct) = -c cdot f''(x - ct) cdot 1 = -c f''(x - ct)
Aqui, f'' é a segunda derivada de f.

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial de Bz em relação a x:
partial Bzpartial x = f'(x - ct) cdot partialpartial x(x - ct) = f'(x - ct) cdot 1 = f'(x - ct)

Passo 5

Em seguida, derivamos partial Bzpartial x em relação a t:
partialpartial t ( partial Bzpartial x ) = partialpartial t ( f'(x - ct) ) = f''(x - ct) cdot partialpartial t(x - ct) = f''(x - ct) cdot (-c) = -c f''(x - ct)

Resposta

Como vimos, tanto partialpartial x partial Bzpartial t quanto partialpartial t partial Bzpartial x resultaram em -c f''(x - ct). Portanto,
partialpartial x partial Bzpartial t = partialpartial t partial Bzpartial x

Exercícios relacionados