Suponha que a dependência de
em relação a
e
possa ser expressa como
, onde
e suas derivadas primeira e segunda são contínuas.
Mostre que:
.
Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que depende de
e
, e ela é dada por
. O objetivo é mostrar que as derivadas parciais mistas
e
são iguais. Para isso, vamos precisar usar conhecimento sobre derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Como
, usamos a regra da cadeia:
Aqui,
é a derivada de
em relação ao seu argumento.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui,
é a segunda derivada de
.
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Resposta
Como vimos, tanto
quanto
resultaram em
. Portanto,