Suponha que a dependência de em relação a e possa ser expressa como , onde e suas derivadas primeira e segunda são contínuas.
Mostre que: .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função que depende de e , e ela é dada por . O objetivo é mostrar que as derivadas parciais mistas e são iguais. Para isso, vamos precisar usar conhecimento sobre derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Como , usamos a regra da cadeia:
Aqui, é a derivada de em relação ao seu argumento.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a :
Aqui, é a segunda derivada de .

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a :

Resposta

Como vimos, tanto quanto resultaram em . Portanto,

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