O espaço entre as placas de um capacitor de placas paralelas é preenchido com dois materiais dielétricos lineares (ver Fig. 3). Cada pedaço de material dielétrico possui espessura a, de maneira que a distância entre as placas do capacitor é 2 a. O material 1 possui uma constante dielétrica epsilonr, 1=2 e o material 2 possui uma constante dielétrica epsilonr, 2=3 / 2. A densidade de carga livre na placa superior é sigma e a densidade de carga livre na placa inferior é -sigma. Considere:
(i) Encontre o vetor deslocamento D em cada material.
(ii) Encontre o campo elétrico E em cada material.
(iii) Encontre a polarização P em cada material.
(iv) Calcule a diferença de potencial entre as placas.
(v) Encontre a localização e o valor de cada densidade de carga ligada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitores com dois materiais dielétricos. A gente vai precisar saber sobre campo elétrico, vetor deslocamento elétrico, polarização, diferença de potencial e cargas ligadas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor deslocamento elétrico D1 = D2 = sigma n em cada material. Lembrando que e que as placas têm densidade de carga .
Para materiais dielétricos em série, o vetor deslocamento é o mesmo em ambos os materiais e igual à densidade de carga :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o campo elétrico E = Depsilon0 epsilonr em cada material. Usando a relação E1 = sigmaepsilon0 cdot 2 , podemos isolar E2 = sigmaepsilon0 cdot 32 = 2sigma3epsilon0 :
Substituindo os valores das constantes dielétricas:
Para o material 1 ( ):
Para o material 2 ( ):

Passo 4

Agora, vamos calcular a polarização P = epsilon0 (epsilonr - 1) E em cada material. A polarização está relacionada ao campo elétrico pela fórmula:
P1 = epsilon0 (2 - 1) cdot sigma2epsilon0 = sigma2 n
Para o material 1:
P2 = epsilon0 (32 - 1) cdot 2sigma3epsilon0 = sigma3 n
Para o material 2:

Passo 5

Vamos calcular a diferença de potencial ( De) entre as placas. A diferença de potencial é a soma das quedas de potencial em cada material:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a localização e o valor de cada densidade de carga ligada. As cargas ligadas aparecem nas interfaces dos materiais dielétricos.
A densidade de carga ligada ( sigmab = P cdot n ) é dada por:
sigmab = P1 - P2 = sigma2 - sigma3 = sigma6
Para a interface entre material 1 e material 2:

Resposta

(i)
(ii) e
(iii) e
(iv)
(v) A densidade de carga ligada está localizada na interface entre os materiais dielétricos.

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