Calcule o potencial escalar elétrico, o campo elétrico e o vetor deslocamento elétrico gerados por um cilindro de raio
e comprimento
, com polarização elétrica
, em pontos situados sobre o eixo
(i)
, (ii)
e (iii)
), perpendicular, que passa pelo seu centro.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! Você me pediu para calcular o potencial escalar elétrico, o campo elétrico e o vetor deslocamento elétrico de um cilindro com algumas características específicas. O cilindro tem raio
, comprimento
e está polarizado eletricamente com
, ou seja, a polarização está na direção do eixo
. Precisamos encontrar essas quantidades em pontos ao longo do eixo
em três regiões diferentes: antes do cilindro (
), dentro do cilindro (
) e depois do cilindro (
). Para isso, vamos usar conceitos de polarização elétrica, cargas ligadas, e as relações entre potencial, campo elétrico e deslocamento elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a polarização elétrica
. A polarização indica como os dipolos elétricos estão alinhados dentro do material. Aqui, todos os dipolos estão alinhados na direção
. Isso cria cargas ligadas na superfície e, se houver, no interior do cilindro.
Passo 3
As cargas ligadas superficiais (
) são dadas por:
onde
é o vetor normal à superfície. No nosso caso, para a tampa superior e inferior do cilindro,
é
, então:
Isso significa que a tampa superior tem carga
e a inferior tem
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
gerado por essas cargas. Como estamos lidando com um cilindro longo e simétrico, podemos usar a solução de potenciais para distribuições de carga linear. O potencial em um ponto ao longo do eixo
devido a uma carga superficial é dado por:
onde
é a área da tampa e
é a distância do ponto à carga.
Passo 5
Calculando o campo elétrico
, lembramos que ele é o gradiente negativo do potencial:
No eixo
, isso simplifica para:
Vamos derivar o potencial que calculamos para obter o campo elétrico.
Passo 6
Para o vetor deslocamento elétrico
, usamos a relação:
Com
, podemos substituir o campo elétrico que encontramos para obter
.
Passo 7
Agora, vamos analisar cada região:
i)
: Aqui, o ponto está antes do cilindro. As cargas na tampa inferior afetam o ponto, mas a tampa superior está distante, então contribui menos.
ii)
: O ponto está dentro do cilindro. Ambas as tampas influenciam o potencial e o campo, mas de forma simétrica.
iii)
: O ponto está além da tampa superior. Apenas a carga da tampa superior influencia significativamente.
Passo 8
Finalmente, integrando tudo e considerando cada região, obtemos as expressões para
,
e
em cada caso. Vamos resumir os resultados:
Resposta
O potencial escalar elétrico
, o campo elétrico
e o vetor deslocamento elétrico
para cada região são dados por:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Essas expressões descrevem como o potencial, o campo elétrico e o vetor deslocamento variam ao longo do eixo
em relação à posição do cilindro polarizado.
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