Calcule o potencial escalar elétrico, o campo elétrico e o vetor deslocamento elétrico gerados por um cilindro de raio e comprimento , com polarização elétrica , em pontos situados sobre o eixo (i) , (ii) e (iii) ), perpendicular, que passa pelo seu centro.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! Você me pediu para calcular o potencial escalar elétrico, o campo elétrico e o vetor deslocamento elétrico de um cilindro com algumas características específicas. O cilindro tem raio , comprimento e está polarizado eletricamente com , ou seja, a polarização está na direção do eixo . Precisamos encontrar essas quantidades em pontos ao longo do eixo em três regiões diferentes: antes do cilindro ( ), dentro do cilindro ( ) e depois do cilindro ( ). Para isso, vamos usar conceitos de polarização elétrica, cargas ligadas, e as relações entre potencial, campo elétrico e deslocamento elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a polarização elétrica . A polarização indica como os dipolos elétricos estão alinhados dentro do material. Aqui, todos os dipolos estão alinhados na direção . Isso cria cargas ligadas na superfície e, se houver, no interior do cilindro.

Passo 3

As cargas ligadas superficiais ( ) são dadas por:
onde é o vetor normal à superfície. No nosso caso, para a tampa superior e inferior do cilindro, é , então:
Isso significa que a tampa superior tem carga e a inferior tem .

Passo 4

Agora, vamos calcular o potencial elétrico gerado por essas cargas. Como estamos lidando com um cilindro longo e simétrico, podemos usar a solução de potenciais para distribuições de carga linear. O potencial em um ponto ao longo do eixo devido a uma carga superficial é dado por:
onde é a área da tampa e é a distância do ponto à carga.

Passo 5

Calculando o campo elétrico , lembramos que ele é o gradiente negativo do potencial:
No eixo , isso simplifica para:
Vamos derivar o potencial que calculamos para obter o campo elétrico.

Passo 6

Para o vetor deslocamento elétrico , usamos a relação:
Com , podemos substituir o campo elétrico que encontramos para obter .

Passo 7

Agora, vamos analisar cada região:
i) : Aqui, o ponto está antes do cilindro. As cargas na tampa inferior afetam o ponto, mas a tampa superior está distante, então contribui menos.
ii) : O ponto está dentro do cilindro. Ambas as tampas influenciam o potencial e o campo, mas de forma simétrica.
iii) : O ponto está além da tampa superior. Apenas a carga da tampa superior influencia significativamente.

Passo 8

Finalmente, integrando tudo e considerando cada região, obtemos as expressões para , e em cada caso. Vamos resumir os resultados:

Resposta

O potencial escalar elétrico , o campo elétrico e o vetor deslocamento elétrico para cada região são dados por:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Essas expressões descrevem como o potencial, o campo elétrico e o vetor deslocamento variam ao longo do eixo em relação à posição do cilindro polarizado.

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