Uma esfera de raio tem polarização elétrica . Determine o potencial escalar elétrico, o campo elétrico e o vetor deslocamento elétrico em todos os pontos do espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio que está polarizada eletricamente, ou seja, tem uma polarização . O que isso significa é que dentro da esfera, as cargas positivas e negativas estão separadas de forma organizada. Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas em todos os pontos do espaço: o potencial elétrico escalar (), o campo elétrico () e o vetor deslocamento elétrico (). Para isso, vamos precisar entender como a polarização gera cargas aparentes e como essas cargas influenciam os campos elétricos ao redor.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre polarização elétrica. Quando uma esfera está polarizada com , significa que as cargas positivas estão ligeiramente deslocadas na direção de e as negativas na direção oposta. Isso cria cargas superficiais chamadas de cargas de superfície aparente. Essas cargas são importantes porque vão gerar os campos elétricos que vamos calcular.
Passo 3
Vamos calcular as cargas de superfície aparente. A densidade de carga superficial () devido à polarização é dada por:
onde é o vetor normal à superfície. No nosso caso, e varia de acordo com o ponto na superfície. Em coordenadas esféricas, a componente pode ser expressa em termos de ângulo polar , então:
Isso significa que a carga superficial varia com o ângulo .
Passo 4
Agora, vamos determinar o potencial elétrico devido a essas cargas de superfície. O potencial de uma distribuição de carga superficial em uma esfera pode ser calculado usando a expansão em harmônicos esféricos. Para distribuições simétricas como a nossa, podemos usar o potencial geral para fora e para dentro da esfera.
Para (fora da esfera):
Para (dentro da esfera):
Aqui, é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Com o potencial em mãos, podemos encontrar o campo elétrico usando a relação:
Vamos calcular isso para ambas as regiões.
Para :
Para :
Passo 6
Por fim, vamos encontrar o vetor deslocamento elétrico. A relação entre , e é:
Vamos substituir os valores de que encontramos.
Para :
Para :
Simplificando:
Resposta
Resumindo, os resultados são:
Potencial elétrico:
Campo elétrico:
Vetor deslocamento elétrico:
Essas expressões descrevem como o potencial, o campo elétrico e o vetor deslocamento variam em todos os pontos do espaço ao redor e dentro da esfera polarizada.