Uma esfera de raio
tem polarização elétrica
. Determine o potencial escalar elétrico, o campo elétrico e o vetor deslocamento elétrico em todos os pontos do espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio
que está polarizada eletricamente, ou seja, tem uma polarização
. O que isso significa é que dentro da esfera, as cargas positivas e negativas estão separadas de forma organizada. Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas em todos os pontos do espaço: o potencial elétrico escalar (
), o campo elétrico (
) e o vetor deslocamento elétrico (
). Para isso, vamos precisar entender como a polarização gera cargas aparentes e como essas cargas influenciam os campos elétricos ao redor.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre polarização elétrica. Quando uma esfera está polarizada com
, significa que as cargas positivas estão ligeiramente deslocadas na direção de
e as negativas na direção oposta. Isso cria cargas superficiais chamadas de cargas de superfície aparente. Essas cargas são importantes porque vão gerar os campos elétricos que vamos calcular.
Passo 3
Vamos calcular as cargas de superfície aparente. A densidade de carga superficial (
) devido à polarização é dada por:
onde
é o vetor normal à superfície. No nosso caso,
e
varia de acordo com o ponto na superfície. Em coordenadas esféricas, a componente
pode ser expressa em termos de ângulo polar
, então:
Isso significa que a carga superficial varia com o ângulo
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o potencial elétrico
devido a essas cargas de superfície. O potencial de uma distribuição de carga superficial em uma esfera pode ser calculado usando a expansão em harmônicos esféricos. Para distribuições simétricas como a nossa, podemos usar o potencial geral para fora e para dentro da esfera.
Para
(fora da esfera):
Para
(dentro da esfera):
Aqui,
é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Com o potencial
em mãos, podemos encontrar o campo elétrico
usando a relação:
Vamos calcular isso para ambas as regiões.
Para
:
Para
:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar o vetor deslocamento elétrico
. A relação entre
,
e
é:
Vamos substituir os valores de
que encontramos.
Para
:
Para
:
Simplificando:
Resposta
Resumindo, os resultados são:
-
Potencial elétrico:
-
Campo elétrico:
E(r, theta) = dfrac2 P0 a^33 varepsilon0 r^3 costheta , r + dfracP0 a^33 varepsilon0 r^3 sintheta , theta & para r > a -dfracP03 varepsilon0 costheta , r + dfracP03 varepsilon0 sintheta , theta & para r <= a -
Vetor deslocamento elétrico:
D(r, theta) = dfrac2 P0 a^33 r^3 costheta , r + dfracP0 a^33 r^3 sintheta , theta & para r > a dfrac2 P03 costheta , r + dfracP03 sintheta , theta & para r <= a
Essas expressões descrevem como o potencial, o campo elétrico e o vetor deslocamento variam em todos os pontos do espaço ao redor e dentro da esfera polarizada.