Mostre que a função não é diferenciável em 6 . Encontre uma fórmula para e esboce seu gráfico.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. A função que estamos analisando é . O que temos que fazer é mostrar que essa função não é diferenciável no ponto . Para isso, vamos precisar conhecer a definição de derivada e o que significa ser diferenciável em um ponto. Em seguida, precisamos encontrar a derivada da função e esboçar seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se a derivada existe. Isso significa que a função deve ser “suave” na vizinhança de , sem quebras ou pontos angulosos. Agora, vamos analisar a função .
A função é uma função que, para diferentes valores de , dá um valor que é a distância de até 6. Para , temos que , e para , a função se torna . Vamos determinar a derivada para cada um desses casos.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de em duas partes:
  1. Para :
    A derivada neste intervalo é:
  2. Para :
    A derivada neste intervalo é:
Então, temos:
  • para
  • para
Agora, o problema é que quando chegamos no ponto , temos:
  • A derivada à esquerda de 6 é .
  • A derivada à direita de 6 é .
Como os valores das derivadas não são iguais, isso significa que a função não tem uma derivada definida em . Portanto, a função não é diferenciável nesse ponto.

Passo 4

Agora que já sabemos que a função não é diferenciável em , podemos dizer que a nossa fórmula da derivada pode ser definida como:
ã

Resposta

Portanto, mostramos que a função não é diferenciável em 6, e a fórmula para a derivada é:
ã

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