Mostre que a função f(x)=|x-6| não é diferenciável em 6 . Encontre uma fórmula para f^prime e esboce seu gráfico.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. A função que estamos analisando é f(x) = |x - 6|. O que temos que fazer é mostrar que essa função não é diferenciável no ponto x = 6. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de derivada e o que significa ser diferenciável em um ponto. Em seguida, precisamos encontrar a derivada da função e esboçar seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto x = a se a derivada f'(a) existe. Isso significa que a função deve ser “suave” na vizinhança de a, sem quebras ou pontos angulosos. Agora, vamos analisar a função f(x) = |x - 6|.
A função |x - 6| é uma função que, para diferentes valores de x, dá um valor que é a distância de x até 6. Para x < 6, temos que f(x) = 6 - x, e para x >= 6, a função se torna f(x) = x - 6. Vamos determinar a derivada para cada um desses casos.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de f(x) em duas partes:
  1. Para x < 6:
    f(x) = 6 - x
    A derivada f'(x) neste intervalo é:
    f'(x) = -1
  2. Para x >= 6:
    f(x) = x - 6
    A derivada f'(x) neste intervalo é:
    f'(x) = 1
Então, temos:
  • f'(x) = -1 para x < 6
  • f'(x) = 1 para x >= 6
Agora, o problema é que quando chegamos no ponto x = 6, temos:
  • A derivada à esquerda de 6 é -1.
  • A derivada à direita de 6 é 1.
Como os valores das derivadas não são iguais, isso significa que a função não tem uma derivada definida em x = 6. Portanto, a função f(x) não é diferenciável nesse ponto.

Passo 4

Agora que já sabemos que a função não é diferenciável em x = 6, podemos dizer que a nossa fórmula da derivada f'(x) pode ser definida como:
f'(x) = -1 & se x < 6 não existe & se x = 6 1 & se x >= 6 ã

Resposta

Portanto, mostramos que a função f(x) = |x - 6| não é diferenciável em 6, e a fórmula para a derivada f' é:
f'(x) = -1 & se x < 6 não existe & se x = 6 1 & se x >= 6 ã

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