Mostre que a função não é diferenciável em 6 . Encontre uma fórmula para e esboce seu gráfico.
Passo 1
Vamos entender o enunciado. A função que estamos analisando é . O que temos que fazer é mostrar que essa função não é diferenciável no ponto . Para isso, vamos precisar conhecer a definição de derivada e o que significa ser diferenciável em um ponto. Em seguida, precisamos encontrar a derivada da função e esboçar seu gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se a derivada existe. Isso significa que a função deve ser “suave” na vizinhança de , sem quebras ou pontos angulosos. Agora, vamos analisar a função .
A função é uma função que, para diferentes valores de , dá um valor que é a distância de até 6. Para , temos que , e para , a função se torna . Vamos determinar a derivada para cada um desses casos.
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada de em duas partes:
Para :
A derivada neste intervalo é:
Para :
A derivada neste intervalo é:
Então, temos:
para
para
Agora, o problema é que quando chegamos no ponto , temos:
A derivada à esquerda de 6 é .
A derivada à direita de 6 é .
Como os valores das derivadas não são iguais, isso significa que a função não tem uma derivada definida em . Portanto, a função não é diferenciável nesse ponto.
Passo 4
Agora que já sabemos que a função não é diferenciável em , podemos dizer que a nossa fórmula da derivada pode ser definida como:
Resposta
Portanto, mostramos que a função não é diferenciável em 6, e a fórmula para a derivada é: