Calcule f'(x) para as funções f abaixo:
8) f(x) = sec(raiz(x^2 + 1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Vamos usar conceitos de cálculo, principalmente a Regra da Cadeia e as derivadas das funções trigonométricas. Precisamos entender como aplicar essas regras passo a passo para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. No nosso caso, temos , que é a função secante aplicada a . A Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções compostas de maneira sistemática.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função composta:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:
Segundo a Regra da Cadeia, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos calcular cada parte da Regra da Cadeia separadamente.
Primeiro, a derivada da função externa em relação a :
Isso vem da derivada padrão da função secante.

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna em relação a . Podemos reescrever como . Aplicando a derivada:

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes usando a Regra da Cadeia:
Substituindo de volta por :

Resposta

A derivada de é:

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