Sejam a, b in R, com a + b = 20. Determine a e b de modo que o produto P = a. b seja máximo.

Passo 1

Beleza! O enunciado fala que temos dois números reais, e , que somam 20, ou seja, . A gente precisa encontrar os valores de e que fazem o produto ser o maior possível. Vamos usar conceitos de álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em função de usando a equação . Assim:

Passo 3

Agora, substituímos na expressão do produto :

Passo 4

A função é uma função quadrática da forma . Sabemos que uma parábola com coeficiente negativo no termo quadrático abre para baixo, o que significa que o ponto mais alto (o máximo) está no vértice da parábola.

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza , usamos a fórmula do vértice para uma parábola . O do vértice é dado por:
No nosso caso, a função é , então:
é

Passo 6

Agora que sabemos que maximiza o produto , substituímos esse valor na equação para encontrar :

Resposta

Os valores que maximizam o produto são e .

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