Calcule
para as funções
abaixo:
15)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a Regra do Quociente, que é usada para derivar funções que são divisão de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função que vamos precisar para aplicar a Regra do Quociente. Temos:
- Numerador:
- Denominador:
Passo 3
Vamos lembrar a fórmula da Regra do Quociente:
Isso significa que vamos precisar calcular as derivadas de
e
.
Passo 4
Vamos derivar
:
Essa é uma derivada direta usando a regra do poder.
Passo 5
Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a Regra do Produto, já que
é o produto de duas funções:
A derivada do produto é:
Passo 6
Vamos derivar . Usamos a Regra da Cadeia:
Aqui, derivamos a potência e multiplicamos pela derivada da função interna , que é
.
Passo 7
Agora, derivamos
, também usando a Regra da Cadeia:
Derivamos a potência e multiplicamos pela derivada da função interna
, que é .
Passo 8
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 9
Agora que temos
,
e
, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Passo 10
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando :
Passo 11
O denominador fica:
Agora, a derivada fica:
Passo 12
Simplificando as potências:
Passo 13
Podemos fatorar ainda mais se necessário, mas essa já é uma forma simplificada da derivada.
Resposta
A derivada de
é: