Calcule f'(x) para as funções f abaixo:
15) f(x) = x^2 / (sen(x)^33 * cos(x)^17)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a Regra do Quociente, que é usada para derivar funções que são divisão de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função que vamos precisar para aplicar a Regra do Quociente. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula da Regra do Quociente:
Isso significa que vamos precisar calcular as derivadas de e .

Passo 4

Vamos derivar :
Essa é uma derivada direta usando a regra do poder.

Passo 5

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a Regra do Produto, já que é o produto de duas funções:
A derivada do produto é:

Passo 6

Vamos derivar . Usamos a Regra da Cadeia:
Aqui, derivamos a potência e multiplicamos pela derivada da função interna , que é .

Passo 7

Agora, derivamos , também usando a Regra da Cadeia:
Derivamos a potência e multiplicamos pela derivada da função interna , que é .

Passo 8

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 9

Agora que temos , e , vamos aplicar a Regra do Quociente:

Passo 10

Vamos simplificar o numerador:
Fatorando :

Passo 11

O denominador fica:
Agora, a derivada fica:

Passo 12

Simplificando as potências:

Passo 13

Podemos fatorar ainda mais se necessário, mas essa já é uma forma simplificada da derivada.

Resposta

A derivada de é:

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