Calcule para as funções abaixo:
15)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a Regra do Quociente, que é usada para derivar funções que são divisão de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função que vamos precisar para aplicar a Regra do Quociente. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula da Regra do Quociente:
Isso significa que vamos precisar calcular as derivadas de e .

Passo 4

Vamos derivar :
Essa é uma derivada direta usando a regra do poder.

Passo 5

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a Regra do Produto, já que é o produto de duas funções:
A derivada do produto é:

Passo 6

Vamos derivar . Usamos a Regra da Cadeia:
Aqui, derivamos a potência e multiplicamos pela derivada da função interna , que é .

Passo 7

Agora, derivamos , também usando a Regra da Cadeia:
Derivamos a potência e multiplicamos pela derivada da função interna , que é .

Passo 8

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 9

Agora que temos , e , vamos aplicar a Regra do Quociente:

Passo 10

Vamos simplificar o numerador:
Fatorando :

Passo 11

O denominador fica:
Agora, a derivada fica:

Passo 12

Simplificando as potências:

Passo 13

Podemos fatorar ainda mais se necessário, mas essa já é uma forma simplificada da derivada.

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Nos exercícios 11 a 15 é dado . Determinar um número para o dado tal que sempre que . Dar exemplos de dois outros números positivos para , que também satisfazem a implicação dada.
Calcule para as funções abaixo:
7)
Seja derivável em tal que . Seja uma função limitada e não derivável em . Calcule a derivada de no ponto .
Seja . Calcule , para todo . A função é derivável no ponto ? Justifique.