Seja derivável em tal que . Seja uma função limitada e não derivável em . Calcule a derivada de no ponto .
Passo 1
Então, galera! Temos aqui um exercício que envolve derivadas de funções reais. A gente precisa encontrar a derivada de no ponto . Sabemos que a função é derivável em 0, e tanto quanto são iguais a zero. Além disso, a função é limitada e não derivável em 0. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto de derivadas e entender como as propriedades dadas influenciam o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de um produto de duas funções, , segue a regra do produto:
Essa regra nos diz que a derivada do produto é a derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.
Passo 3
Agora, nosso foco é calcular . Vamos aplicar a regra do produto no ponto :
Sabemos que e , conforme o enunciado. Além disso, é uma função limitada, ou seja, existe um número real tal que para todo .
Passo 4
Substituindo os valores que conhecemos na fórmula:
Aqui, mesmo que não exista, o produto com torna esse termo zero. Portanto, não precisamos nos preocupar com a derivada de nesse caso específico.