Seja derivável em tal que . Seja uma função limitada e não derivável em . Calcule a derivada de no ponto .

Passo 1

Então, galera! Temos aqui um exercício que envolve derivadas de funções reais. A gente precisa encontrar a derivada de no ponto . Sabemos que a função é derivável em 0, e tanto quanto são iguais a zero. Além disso, a função é limitada e não derivável em 0. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto de derivadas e entender como as propriedades dadas influenciam o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de um produto de duas funções, , segue a regra do produto:
Essa regra nos diz que a derivada do produto é a derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.

Passo 3

Agora, nosso foco é calcular . Vamos aplicar a regra do produto no ponto :
Sabemos que e , conforme o enunciado. Além disso, é uma função limitada, ou seja, existe um número real tal que para todo .

Passo 4

Substituindo os valores que conhecemos na fórmula:
Aqui, mesmo que não exista, o produto com torna esse termo zero. Portanto, não precisamos nos preocupar com a derivada de nesse caso específico.

Resposta

A derivada de no ponto é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule para as funções abaixo:
15)
Nos exercícios 11 a 15 é dado . Determinar um número para o dado tal que sempre que . Dar exemplos de dois outros números positivos para , que também satisfazem a implicação dada.
Seja . Calcule , para todo . A função é derivável no ponto ? Justifique.
Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
(a) Se , a função admite um ponto de máximo.
(b) O gráfico da função intercepta o eixo x nos pontos de coordenadas e .
© O gráfico da função intercepta o eixo y no ponto de coordenadas se .