Seja
derivável em
tal que
. Seja
uma função limitada e não derivável em
. Calcule a derivada de
no ponto
.
Passo 1
Então, galera! Temos aqui um exercício que envolve derivadas de funções reais. A gente precisa encontrar a derivada de
no ponto
. Sabemos que a função
é derivável em 0, e tanto
quanto
são iguais a zero. Além disso, a função
é limitada e não derivável em 0. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto de derivadas e entender como as propriedades dadas influenciam o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de um produto de duas funções,
, segue a regra do produto:
Essa regra nos diz que a derivada do produto é a derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.
Passo 3
Agora, nosso foco é calcular
. Vamos aplicar a regra do produto no ponto
:
Sabemos que
e
, conforme o enunciado. Além disso,
é uma função limitada, ou seja, existe um número real
tal que
para todo
.
Passo 4
Substituindo os valores que conhecemos na fórmula:
Aqui, mesmo que
não exista, o produto com
torna esse termo zero. Portanto, não precisamos nos preocupar com a derivada de
nesse caso específico.
Resposta
A derivada de
no ponto
é igual a 0.