Seja f(x) = |x^3|. Calcule f''(x), para todo x em R. A função f'' é derivável no ponto x0 = 0 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a segunda derivada de para todo número real . Além disso, precisamos verificar se essa segunda derivada, , é derivável no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo diferencial, especialmente de derivadas de funções com valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Sabemos que o valor absoluto de depende do sinal de :
  • Se , então .
  • Se , então .
Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada . Vamos derivar peça por peça:
Para :
Para :
Então, a primeira derivada é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada derivando :
Para :
Para :
Então, a segunda derivada é:

Passo 5

Agora, precisamos verificar se é derivável no ponto . Para que uma função seja derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e ter derivadas à esquerda e à direita iguais.
Vamos verificar a continuidade de em :
Calculando pelo lado positivo:
Calculando pelo lado negativo:
Como os limites pelo lado positivo e negativo são iguais e iguais a , a função é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar a derivada de em . Vamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita:
Para :
Para :
As derivadas pela esquerda e pela direita são 6 e -6, respectivamente, que não são iguais.

Resposta

A segunda derivada de é:
Além disso, a função não é derivável no ponto , pois as derivadas pela esquerda e pela direita em não coincidem.

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