Seja . Calcule , para todo . A função é derivável no ponto ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a segunda derivada de para todo número real . Além disso, precisamos verificar se essa segunda derivada, , é derivável no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo diferencial, especialmente de derivadas de funções com valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Sabemos que o valor absoluto de depende do sinal de :
  • Se , então .
  • Se , então .
Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada . Vamos derivar peça por peça:
Para :
Para :
Então, a primeira derivada é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada derivando :
Para :
Para :
Então, a segunda derivada é:

Passo 5

Agora, precisamos verificar se é derivável no ponto . Para que uma função seja derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e ter derivadas à esquerda e à direita iguais.
Vamos verificar a continuidade de em :
Calculando pelo lado positivo:
Calculando pelo lado negativo:
Como os limites pelo lado positivo e negativo são iguais e iguais a , a função é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar a derivada de em . Vamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita:
Para :
Para :
As derivadas pela esquerda e pela direita são 6 e -6, respectivamente, que não são iguais.

Resposta

A segunda derivada de é:
Além disso, a função não é derivável no ponto , pois as derivadas pela esquerda e pela direita em não coincidem.

Exercícios relacionados

Seja derivável em tal que . Seja uma função limitada e não derivável em . Calcule a derivada de no ponto .
Calcule para as funções abaixo:
15)
Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
(a) Se , a função admite um ponto de máximo.
(b) O gráfico da função intercepta o eixo x nos pontos de coordenadas e .
© O gráfico da função intercepta o eixo y no ponto de coordenadas se .
Dê exemplo de uma função que seja descontínua em todos os pontos da reta mas que a função seja contínua em todos os pontos da reta.