Seja . Calcule , para todo . A função é derivável no ponto ? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a segunda derivada de para todo número real . Além disso, precisamos verificar se essa segunda derivada, , é derivável no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo diferencial, especialmente de derivadas de funções com valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função . Sabemos que o valor absoluto de depende do sinal de :
Se , então .
Se , então .
Então, podemos reescrever como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada . Vamos derivar peça por peça:
Para :
Para :
Então, a primeira derivada é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada derivando :
Para :
Para :
Então, a segunda derivada é:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se é derivável no ponto . Para que uma função seja derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e ter derivadas à esquerda e à direita iguais.
Vamos verificar a continuidade de em :
Calculando pelo lado positivo:
Calculando pelo lado negativo:
Como os limites pelo lado positivo e negativo são iguais e iguais a , a função é contínua em .
Passo 6
Agora, vamos verificar a derivada de em . Vamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita:
Para :
Para :
As derivadas pela esquerda e pela direita são 6 e -6, respectivamente, que não são iguais.
Resposta
A segunda derivada de é:
Além disso, a função não é derivável no ponto , pois as derivadas pela esquerda e pela direita em não coincidem.