Nos exercícios 11 a 15 é dado . Determinar um número para o dado tal que sempre que . Dar exemplos de dois outros números positivos para , que também satisfazem a implicação dada.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos a função e sabemos que o limite dessa função quando se aproxima de 5 é . O conteúdo aqui envolve o conceito de limites e a definição - para provar limites. Precisamos encontrar um número tal que, para um dado (neste caso, ), a condição seja satisfeita sempre que . Além disso, vamos dar exemplos de dois outros valores positivos para que também funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Nesse contexto, queremos que a diferença entre e o limite seja menor que . Vamos substituir e na expressão:
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
Passo 3
Agora, vamos combinar as frações dentro do valor absoluto para facilitar a resolução:
Simplificando o numerador:
Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
Multiplicando ambos os lados por (que é positivo, então a desigualdade não inverte):
Passo 4
Nosso objetivo agora é encontrar tal que, se , então . Para simplificar, vamos considerar que está próximo de 5, então não será zero. Vamos encontrar uma relação entre e .
A partir da última desigualdade:
Podemos isolar :
Mas, para facilitar a resolução, vamos supor que . Isso significa que está no intervalo . Assim, podemos estimar :
Se , então:
Portanto:
Mas queremos que e, ao mesmo tempo, . Assim, escolhemos como o mínimo entre 1 e 1,5, ou seja, .
Passo 5
Agora, vamos verificar se satisfaz a condição. Se , então está entre 4 e 6. Substituindo na desigualdade original:
De fato, dentro desse intervalo, a condição é satisfeita. Portanto, é uma escolha válida.
Resposta
Para , um número que satisfaz sempre que é . Dois outros números positivos que também funcionam são e .