Nos exercícios 11 a 15 é dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de para o varepsilon dado tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a|. Dar exemplos de dois outros números positivos para de, que também satisfazem a implicação dada.
lim x 5 12-x=-13, varepsilon=0,25

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício nos pede. Temos a função e sabemos que o limite dessa função quando se aproxima de 5 é . O conteúdo aqui envolve o conceito de limites e a definição - para provar limites. Precisamos encontrar um número tal que, para um dado (neste caso, ), a condição seja satisfeita sempre que . Além disso, vamos dar exemplos de dois outros valores positivos para que também funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa | 12 - x - ( -13 ) | < 0,25 . Nesse contexto, queremos que a diferença entre | 12 - x + 13 | < 0,25 e o limite seja menor que . Vamos substituir e na expressão:
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:

Passo 3

Agora, vamos combinar as frações dentro do valor absoluto para facilitar a resolução:
| 3 + (2 - x)3(2 - x) | < 0,25
Simplificando o numerador:
| 5 - x3(2 - x) | < 0,25
Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
|5 - x|3|2 - x| < 0,25
Multiplicando ambos os lados por |5 - x| < 0,75|2 - x| (que é positivo, então a desigualdade não inverte):

Passo 4

Nosso objetivo agora é encontrar |5 - x| < 0,75|2 - x| tal que, se |x - 5| < 0,75|x - 2| , então |x - 2| >= |4 - 2| = 2 . Para simplificar, vamos considerar que |x - 5| < 0,75 times 2 = 1,5 está próximo de 5, então não será zero. Vamos encontrar uma relação entre e .
A partir da última desigualdade:
Podemos isolar :
Mas, para facilitar a resolução, vamos supor que . Isso significa que está no intervalo . Assim, podemos estimar :
Se , então:
Portanto:
Mas queremos que e, ao mesmo tempo, . Assim, escolhemos como o mínimo entre 1 e 1,5, ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos verificar se | 12 - x + 13 | < 0,25 satisfaz a condição. Se , então está entre 4 e 6. Substituindo na desigualdade original:
De fato, dentro desse intervalo, a condição é satisfeita. Portanto, é uma escolha válida.

Resposta

Para , um número que satisfaz sempre que é . Dois outros números positivos que também funcionam são e .

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