Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(k)
Passo 1
Beleza, temos que verificar se a função é contínua e derivável no ponto . Vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade, além de usar limites para analisar o comportamento da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se é contínua em . Para isso, precisamos checar se o limite de quando se aproxima de 0 é igual a .
Sabemos que:
Agora, vamos calcular o limite:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. E sabemos que:
Portanto:
Isso mostra que é contínua em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é derivável em . Para isso, usamos a definição de derivada:
Vamos analisar esse limite. Podemos usar a aproximação para o cosseno próximo de 0:
Substituindo :
Então:
Dependendo de como se aproxima de 0, podemos ter:
Se se aproxima de 0 pela direita (), :
Se se aproxima de 0 pela esquerda (), :
Os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), então o limite geral não existe.
Resposta
A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.