Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, temos que verificar se a função
é contínua e derivável no ponto
. Vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade, além de usar limites para analisar o comportamento da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é contínua em
. Para isso, precisamos checar se o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual a
.
Sabemos que:
Agora, vamos calcular o limite:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. E sabemos que:
Portanto:
Isso mostra que
é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é derivável em
. Para isso, usamos a definição de derivada:
Vamos analisar esse limite. Podemos usar a aproximação para o cosseno próximo de 0:
Substituindo
:
Então:
Dependendo de como
se aproxima de 0, podemos ter:
- Se
se aproxima de 0 pela direita ( ), :
- Se
se aproxima de 0 pela esquerda ( ), :
Os limites laterais são diferentes (
pela direita e
pela esquerda), então o limite geral não existe.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é derivável nesse ponto.