Calcule: H^prime(2) se H(x)=3 x integral4^x^2 e^-raizt d t, Resposta: 24e^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular onde . Aqui, vamos trabalhar com derivadas e integrais, então vamos precisar usar a regra do produto e o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar: . Note que temos um produto de e uma integral que depende de . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
H'(x) = ddx(3x) cdot integral4^x^2 e^-raizt , dt + 3x cdot ddx ( integral4^x^2 e^-raizt , dt )
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 4

A primeira parte é a derivada de ddx(3x) = 3 , que é simplesmente 3:
3 cdot integral4^x^2 e^-raizt , dt
Então, essa parte fica:

Passo 5

Agora, a segunda parte envolve a derivada de uma integral com limite superior ddx ( integrala^g(x) f(t) , dt ) = f(g(x)) cdot g'(x) . Aqui, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
ddx ( integral4^x^2 e^-raizt , dt ) = e^-raizx^2 cdot 2x = e^-x cdot 2x
Aplicando isso:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
H'(x) = 3 cdot integral4^x^2 e^-raizt , dt + 3x cdot 2x e^-x = 3 cdot integral4^x^2 e^-raizt , dt + 6x^2 e^-x

Passo 7

Agora, precisamos calcular H'(2) = 3 cdot integral4^4 e^-raizt , dt + 6 cdot (2)^2 e^-2 . Vamos substituir H'(2) = 0 + 6 cdot 4 cdot e^-2 = 24 cdot e^-2 na expressão:
Perceba que a integral de 4 a 4 é zero, então:

Resposta

H^prime(2) = 24e^2

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