Seja
. Determine, caso existam, os pontos de máximo local, mínimo local e sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos achar os pontos onde ela tem máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para achar os pontos críticos:
Passo 4
Da primeira equação, sabemos que
. Vamos substituir isso na segunda equação:
Mas também temos que
, então
. Substituindo na equação:
Passo 5
Resolvendo
, temos duas soluções:
Para cada valor de
, encontramos
usando
:
- Se
, então . Mas isso não é possível porque para todo . Então, descartamos . - Se
, então .
Passo 6
Calculando
:
Então, o ponto crítico é:
Passo 7
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 8
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Substituindo no ponto crítico:
Então,
Como
e
, isso indica que temos um ponto de máximo local.
Resposta
O ponto
é um ponto de máximo local para a função
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada das seguintes funções:
Resposta:
Se
.
. Determine
.
Calcule:
se
Resposta: