Determine o vetores velocidade e de posição de uma partícula cuja aceleração é
; dadas a velocidade e posição inicial,
e
respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que está se movendo e sabemos a aceleração dela, que é
. Também conhecemos a velocidade inicial
e a posição inicial
. Nosso objetivo é descobrir como a velocidade e a posição dessa partícula mudam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar a velocidade em função do tempo, precisamos integrar a aceleração. A fórmula que usamos é:
Passo 3
Vamos calcular a integral da aceleração. Como
é constante, a integral fica simples:
Passo 4
Agora, somamos isso à velocidade inicial para encontrar
:
Então, a velocidade em função do tempo é
.
Passo 5
Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a posição em função do tempo. Lembrando que posição é a integral da velocidade, usamos a fórmula:
Passo 6
Vamos calcular a integral da velocidade. Já sabemos que
, então:
Calculando cada componente:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
- Para a terceira componente:
Então, a integral fica
.
Passo 7
Agora, somamos isso à posição inicial para encontrar
:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é
e a posição em função do tempo é
.
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Calcule:
se
Resposta:
Determine a derivada das seguintes funções:
Resposta:
Seja
um porto crítico de
satisfazendo
Em
tem mínimo local, máximo local ou ponto de sela?