circledast Encontre o vetor sigma(t) para o qual sigma'(t) = e^(-t) i + e^(t) j e sigma(0) = i + j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para encontrar o vetor sigma(t) sabendo que sua derivada sigma'(t) é e que, quando , . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada sigma'(t) para encontrar sigma(t). A integral de um vetor é feita componente por componente. Então, vamos integrar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos integrar a componente i:
Aqui, é a constante de integração para a componente i.

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente j:
é a constante de integração para a componente j.

Passo 5

Com as integrais feitas, podemos montar a expressão geral para sigma(t):

Passo 6

Para encontrar as constantes e , usamos a condição inicial . Vamos substituir na expressão de sigma(t):
Isso deve ser igual a .

Passo 7

Igualando as componentes, temos:

Passo 8

Agora que encontramos e , substituímos de volta na expressão de sigma(t):

Resposta

Exercícios relacionados

Seja f(x, y) = 3 x e^(y) - x^3 - e^(3 y). Determine, caso existam, os pontos de máximo local, mínimo local e sela.
Determine a derivada das seguintes funções: H(x)=x^2 integral0^x^2 sen uu d u, Resposta: H^prime(x)=2 x integral0^x^2 sen uu d u+2 x sen(x^2)
Calcule: H^prime(2) se H(x)=3 x integral4^x^2 e^-raizt d t, Resposta: 24e^2
circledast Determine o vetores velocidade e de posição de uma partícula cuja aceleração é A(t) = (0, 0, -10); dadas a velocidade e posição inicial, V(0) = (1, 1, -1) e sigma(0) =(2, 3, 0) respectivamente.