Calcule:
(b) H^prime(2) se H(x)=3 x integral4^x^2 e^-raizt d t, Resposta: 24e^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar regras de derivação para produtos e para integrais que dependem de uma variável. Vamos precisar conhecer a regra do produto e a regra de Leibniz para derivadas de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é um produto de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que se , então .

Passo 3

Vamos derivar cada parte separadamente. A derivada de f'(x) = 3 é simples:

Passo 4

Agora, vamos derivar g'(x) = e^-raizx^2 cdot ddx(x^2) = e^-x cdot 2x . Aqui usamos a regra de Leibniz, que para uma integral com limite superior que depende de , a derivada é:
Nota: porque está elevado ao quadrado.

Passo 5

Agora que temos H'(x) = f'(x) cdot g(x) + f(x) cdot g'(x) = 3 cdot integral4^x^2 e^-raizt , dt + 3x cdot 2x e^-x e H'(x) = 3 integral4^x^2 e^-raizt , dt + 6x^2 e^-x , aplicamos a regra do produto:
Simplificando a segunda parte:

Passo 6

Agora, precisamos calcular H'(2) = 3 integral4^(2)^2 e^-raizt , dt + 6(2)^2 e^-2 . Vamos substituir H'(2) = 3 integral4^4 e^-raizt , dt + 24 e^-2 na expressão que encontramos:
integral4^4 e^-raizt , dt = 0
Simplificando os limites da integral:
H'(2) = 0 + 24 e^-2 = 24e^2
A integral de um intervalo onde o limite inferior é igual ao superior é zero:
Então:

Resposta

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