Calcule:
(b)
se
Resposta:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada
da função
. Para isso, vamos usar regras de derivação para produtos e para integrais que dependem de uma variável. Vamos precisar conhecer a regra do produto e a regra de Leibniz para derivadas de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que
é um produto de duas funções:
e
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que se
, então
.
Passo 3
Vamos derivar cada parte separadamente. A derivada de
é simples:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Aqui usamos a regra de Leibniz, que para uma integral com limite superior que depende de
, a derivada é:
Nota:
porque
está elevado ao quadrado.
Passo 5
Agora que temos
e
, aplicamos a regra do produto:
Simplificando a segunda parte:
Passo 6
Agora, precisamos calcular
. Vamos substituir
na expressão que encontramos:
Simplificando os limites da integral:
A integral de um intervalo onde o limite inferior é igual ao superior é zero:
Então: