Determine a derivada das seguintes funções:
(d) F(t)=integralt^3 sen xx d x, Resposta: F^prime(t)=-sen tt

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar o conceito de derivada de uma integral com limites variáveis, que faz parte do cálculo diferencial. Vamos precisar entender um pouquinho sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e como aplicar a regra de diferenciação em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é uma função definida por uma integral. Aqui, é definida como a integral de de até 3. Agora, queremos saber como essa função muda quando muda, ou seja, precisamos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 3

Para derivar uma função como essa, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar integrais com limites que dependem da variável. A regra básica é:
ddt ( integrala(t)^b(t) f(x) , dx ) = f(b(t)) cdot b'(t) - f(a(t)) cdot a'(t)
Aqui, e são os limites da integral que dependem de , e é a função que está sendo integrada.

Passo 4

No nosso caso, e . Vamos identificar cada parte:
  • então
  • então (porque 3 é uma constante)

Passo 5

Aplicando a regra que mencionamos:
F'(t) = f(b(t)) cdot b'(t) - f(a(t)) cdot a'(t)
Substituindo:
F'(t) = sen 33 cdot 0 - sen tt cdot 1

Passo 6

Simplificando os termos:
F'(t) = 0 - sen tt
F'(t) = -sen tt

Resposta

A derivada da função é .

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