Determine a derivada das seguintes funções:
(d)
Resposta:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada de uma integral com limites variáveis, que faz parte do cálculo diferencial. Vamos precisar entender um pouquinho sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e como aplicar a regra de diferenciação em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é uma função definida por uma integral. Aqui,
é definida como a integral de
de
até 3. Agora, queremos saber como essa função muda quando
muda, ou seja, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Para derivar uma função como essa, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar integrais com limites que dependem da variável. A regra básica é:
Aqui,
e
são os limites da integral que dependem de
, e
é a função que está sendo integrada.
Passo 4
No nosso caso,
e
. Vamos identificar cada parte:
-
-
então -
então (porque 3 é uma constante)
Passo 5
Aplicando a regra que mencionamos:
Substituindo:
Passo 6
Simplificando os termos:
Resposta
A derivada da função é
.