Determine o volume do sólido limitado pelo parabolóide z + x^2 + y^2 = 9 e pelo plano z = 0. Esboce o sólido.

Passo 1

Estamos querendo descobrir o volume de um sólido que é limitado pelo parabolóide e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar cálculos de integrais múltiplas, especificamente em coordenadas polares, que facilitam a integração em situações com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do parabolóide para isolar :
Isso nos mostra que o parabolóide desce do ponto mais alto, onde , até o plano .

Passo 3

O sólido que estamos analisando está entre e . Para encontrar o volume, precisamos integrar essa função sobre a região no plano que está abaixo do parabolóide e acima do plano.

Passo 4

Vamos descobrir qual é essa região no plano . Para isso, observamos onde o parabolóide cruza o plano :
Isso descreve um círculo de raio 3 centrado na origem. Então, nossa região de integração é esse círculo.

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Lembrando que:
E a área diferencial em coordenadas polares é . Assim, nosso intervalo para vai de 0 a 3 e para de 0 a .

Passo 6

Configurar a integral para o volume:
Aqui, é a função que descreve a altura do sólido em cada ponto do círculo, e multiplicamos por devido à mudança para coordenadas polares.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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