Determine o volume do sólido limitado pelo parabolóide
e pelo plano
. Esboce o sólido.
Passo 1
Estamos querendo descobrir o volume de um sólido que é limitado pelo parabolóide
e pelo plano
. Para resolver isso, vamos usar cálculos de integrais múltiplas, especificamente em coordenadas polares, que facilitam a integração em situações com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do parabolóide para isolar
:
Isso nos mostra que o parabolóide desce do ponto mais alto, onde
, até o plano
.
Passo 3
O sólido que estamos analisando está entre
e
. Para encontrar o volume, precisamos integrar essa função sobre a região no plano
que está abaixo do parabolóide e acima do plano.
Passo 4
Vamos descobrir qual é essa região no plano
. Para isso, observamos onde o parabolóide cruza o plano
:
Isso descreve um círculo de raio 3 centrado na origem. Então, nossa região de integração é esse círculo.
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Lembrando que:
E a área diferencial em coordenadas polares é
. Assim, nosso intervalo para
vai de 0 a 3 e para
de 0 a
.
Passo 6
Configurar a integral para o volume:
Aqui,
é a função que descreve a altura do sólido em cada ponto do círculo, e multiplicamos por
devido à mudança para coordenadas polares.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.