Utilize integrais duplas para calcular a área: Da região triangular T do plano cartesiano limitada pelo triângulo cujos vértices são A(0,0) B(1, 1/2) e C(0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área de um triângulo usando integrais duplas. A gente vai usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para achar a área da região triangular no plano cartesiano, delimitada pelos vértices , e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo no plano cartesiano. Os pontos e estão na vertical do eixo , enquanto está à direita. Isso forma um triângulo com base no eixo .

Passo 3

Agora, para configurar a integral dupla, precisamos definir os limites de integração. Vamos integrar primeiro em e depois em . Observando o triângulo, para cada valor de entre 0 e 1, varia de 0 até a reta que liga a .

Passo 4

Vamos encontrar a equação da reta que passa por e . A fórmula da reta é:
Calculando a inclinação :
Agora, usando o ponto para encontrar :
Então, a equação da reta é:
Resolvendo para :

Passo 5

Com isso, nossos limites de integração ficam:
A área pode ser calculada pela integral dupla:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em :
Agora, substituímos na integral externa:

Passo 7

Resolvendo a integral em :
Calculando nos limites:

Resposta

A área da região triangular é igual a unidade de área.

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