Utilize integrais duplas para calcular a área: Da região triangular
do plano cartesiano limitada pelo triângulo cujos vértices são
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área de um triângulo usando integrais duplas. A gente vai usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para achar a área da região triangular
no plano cartesiano, delimitada pelos vértices
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o triângulo no plano cartesiano. Os pontos
e
estão na vertical do eixo
, enquanto
está à direita. Isso forma um triângulo com base no eixo
.
Passo 3
Agora, para configurar a integral dupla, precisamos definir os limites de integração. Vamos integrar primeiro em
e depois em
. Observando o triângulo, para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de 0 até a reta que liga
a
.
Passo 4
Vamos encontrar a equação da reta que passa por
e
. A fórmula da reta é:
Calculando a inclinação
:
Agora, usando o ponto
para encontrar
:
Então, a equação da reta é:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com isso, nossos limites de integração ficam:
A área
pode ser calculada pela integral dupla:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 7
Resolvendo a integral em
:
Calculando nos limites:
Resposta
A área da região triangular
é igual a
unidade de área.