a) forall n in N* existe m in Z tal que m < 1/n
b) forall n pertencente a N* existe m pertencente a N* tal que m < 1/n
c) forall n em N* existe m em Z tal que | (m^2 + 1) / m > n

Passo 1

Vamos dar uma olhada nas três afirmações que precisamos analisar. O conteúdo aqui envolve lógica matemática e compreensão de conjuntos numéricos, como os naturais ( ) e os inteiros ( ). Para resolver, vamos examinar cada afirmação individualmente e verificar se elas são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

a)
Aqui queremos saber se, para todo número natural positivo , existe um inteiro que seja menor que .
Sabemos que é um número positivo muito pequeno à medida que aumenta. Vamos tentar encontrar um inteiro que seja menor que esse valor.
Por exemplo, se , então . Podemos escolher , que é menor que 1.
Para , . Ainda podemos escolher , que é menor que 0,5.
Como 0 é sempre menor que para qualquer , essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

Resposta a): Verdadeiro. Para todo , existe um inteiro que satisfaz .

Passo 4

b)
Agora, a diferença é que também precisa ser um número natural positivo. Ou seja, deve ser pelo menos 1.
Queremos verificar se, para todo , existe um tal que .
Vamos ver um exemplo: se , . Não existe um número natural positivo menor que 1, já que o menor número natural positivo é 1, que não é menor que 1.
Portanto, não é possível encontrar tal para , o que torna a afirmação falsa.

Passo 5

Resposta b): Falso. Não existe que seja menor que para todo .

Passo 6

c)
Queremos verificar se, para todo número natural positivo , existe um inteiro tal que .
Simplificando a expressão:
Para , à medida que aumenta, também aumenta.
Vamos escolher . Então:
Portanto, para qualquer , podemos escolher e a desigualdade será satisfeita.

Passo 7

Resposta c): Verdadeiro. Para todo , escolhendo , temos .

Resposta

a) Verdadeiro.
b) Falso.
c) Verdadeiro.

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