Calcule
e
onde
e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função
em geral, ou seja,
, e também o valor dessa derivada para
, onde
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de derivadas no cálculo, especificamente a regra de potência e a regra da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A derivada nos diz a taxa de variação da função em qualquer ponto
.
A função é:
Para derivar essa função, usamos a regra da soma, que diz que a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas de cada função.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo separadamente usando a regra de potência. A regra de potência afirma que a derivada de
em relação a
é
.
- Derivada de
:
- Derivada de
:
(Basta multiplicar a constante pelo coeficiente de
, que é 1.)
Então, a derivada de
é:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a derivada, vamos calcular
substituindo
por
.
Substituindo na derivada:
Vamos calcular
:
Agora, substituindo de volta:
Para somar as frações, transformamos 4 em fração com denominador 3125:
Então:
Resposta
A derivada da função é
e, para
, temos
.
Exercícios relacionados
Seja
Esboce o gráfico de
.
Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função
definida, definida e derivável em
, tal que
para
para
e
para
.
Calcule
e
onde
e
Calcule as derivadas das funções abaixo