Calcule e onde e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função em geral, ou seja, , e também o valor dessa derivada para , onde . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de derivadas no cálculo, especificamente a regra de potência e a regra da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . A derivada nos diz a taxa de variação da função em qualquer ponto .
A função é:
Para derivar essa função, usamos a regra da soma, que diz que a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas de cada função.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente usando a regra de potência. A regra de potência afirma que a derivada de em relação a é .
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
(Basta multiplicar a constante pelo coeficiente de , que é 1.)
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a derivada, vamos calcular substituindo por .
Substituindo na derivada:
Vamos calcular :
Agora, substituindo de volta:
Para somar as frações, transformamos 4 em fração com denominador 3125:
Então:

Resposta

A derivada da função é e, para , temos .

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Seja
Esboce o gráfico de .
Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função definida, definida e derivável em , tal que para para e para .
Calcule e onde e
Calcule as derivadas das funções abaixo