Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função definida, definida e derivável em , tal que para para e para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que é definida e derivável para todo número real . Além disso, precisamos que a derivada dessa função, , seja maior que zero quando , menor que zero quando e novamente maior que zero quando . Isso envolve conceitos de derivadas e comportamento das funções em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e . A derivada de uma função nos diz a inclinação da reta tangente nessa função em cada ponto. Se , a função está crescendo naquele intervalo; se , está decrescendo.

Passo 3

Para atender às condições do exercício, precisamos construir uma derivada que seja positiva quando , negativa entre e positiva novamente quando . Uma forma simples de fazer isso é pensar em uma função derivada que muda de sinal nos pontos e .

Passo 4

Vamos definir a derivada como uma função quadrática que tenha raízes em e . Assim:
Essa função é positiva quando e , e negativa quando , exatamente como queremos.

Passo 5

Agora, para achar a função , precisamos integrar . Integrando , temos:
Onde é a constante de integração. Para simplificar, podemos escolher .

Passo 6

Então, nossa função fica:
Essa função é diferenciável em todos os reais e satisfaz as condições impostas pelo exercício: sua derivada é positiva para , negativa entre e positiva novamente para .

Resposta

Um exemplo de função que atende às condições é . O gráfico dessa função é crescente quando , decrescente entre e novamente crescente para .

Exercícios relacionados

Seja . Determine o(s) ponto(s) do gráfico que que tem reta tangente ortogonal à reta .
Seja
é derivável em 2? Por quê?
Seja
Esboce o gráfico de .
Calcule e onde e