Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função
definida, definida e derivável em
, tal que
para
para
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função
que é definida e derivável para todo número real
. Além disso, precisamos que a derivada dessa função,
, seja maior que zero quando
, menor que zero quando
e novamente maior que zero quando
. Isso envolve conceitos de derivadas e comportamento das funções em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
e
. A derivada de uma função nos diz a inclinação da reta tangente nessa função em cada ponto. Se
, a função está crescendo naquele intervalo; se
, está decrescendo.
Passo 3
Para atender às condições do exercício, precisamos construir uma derivada
que seja positiva quando
, negativa entre
e positiva novamente quando
. Uma forma simples de fazer isso é pensar em uma função derivada que muda de sinal nos pontos
e
.
Passo 4
Vamos definir a derivada
como uma função quadrática que tenha raízes em
e
. Assim:
Essa função é positiva quando
e
, e negativa quando
, exatamente como queremos.
Passo 5
Agora, para achar a função
, precisamos integrar
. Integrando
, temos:
Onde
é a constante de integração. Para simplificar, podemos escolher
.
Passo 6
Então, nossa função fica:
Essa função é diferenciável em todos os reais e satisfaz as condições impostas pelo exercício: sua derivada é positiva para
, negativa entre
e positiva novamente para
.
Resposta
Um exemplo de função que atende às condições é
. O gráfico dessa função é crescente quando
, decrescente entre
e novamente crescente para
.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine o(s) ponto(s) do gráfico que
que tem reta tangente ortogonal à reta
.
Seja
Seja
Esboce o gráfico de
.
Calcule
e
onde
e