Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar saber derivar funções trigonométricas e trabalhar com radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A função pode ser expressa como:
Isso já nos mostra que precisaremos usar a regra da cadeia para derivar a raiz quadrada.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de será:
Aqui, derivamos a parte externa (a raiz quadrada) e multiplicamos pela derivada da parte interna.

Passo 4

Agora, precisamos derivar a fração dentro da raiz. Vamos chamar de e . Assim, a derivada da fração é dada pela regra do quociente:

Passo 5

Calculando , temos:
Usamos a regra do produto aqui: a derivada de é 1 e a derivada de é .

Passo 6

Calculando , temos:
A derivada de é e a derivada de é zero, pois é uma constante.

Passo 7

Substituindo e na fórmula da regra do quociente:

Passo 8

Agora, voltamos à expressão de e substituímos a derivada da fração:

Passo 9

Simplificando a expressão, podemos reescrever como . Portanto:

Passo 10

Finalmente, podemos simplificar um pouco mais a expressão combinando os termos:

Resposta

A derivada de é:

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Calcule .
Calcule .
.
Calcule .
A maioria dos fenômenos físicos são modelados através de equações diferenciais. Estas são equações envolvendo derivadas de uma função, que é a incógnita. Como exemplo, a segunda lei de Newton lê-se , onde denota a função posição em relação ao tempo e a força com respeito a posição e o tempo .
A equação com , é um exemplo de equação diferencial. Encontre as constantes tais que a função satisfaça essa equação.