A maioria dos fenômenos físicos são modelados através de equações diferenciais. Estas são equações envolvendo derivadas de uma função, que é a incógnita. Como exemplo, a segunda lei de Newton lê-se
, onde
denota a função posição em relação ao tempo e
a força com respeito a posição
e o tempo
.
A equação
com
, é um exemplo de equação diferencial. Encontre as constantes
tais que a função
satisfaça essa equação.
A equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos uma equação diferencial:
E queremos encontrar os valores das constantes
,
e
na função:
Para resolver isso, vamos calcular as derivadas de
, substituir na equação diferencial e igualar os coeficientes para encontrar
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
.
A primeira derivada
é:
A segunda derivada
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Agora, vamos reorganizar os termos por potência de
:
Isso fica:
Passo 5
Para que a igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo.
Começando pela primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Por fim, substituímos
e
na terceira equação:
Resposta
As constantes que satisfazem a equação são:
Exercícios relacionados
Calcule
.
Calcule
.
Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
.
Considere
(a) Esboce o gráfico de
.
(b) Verifique se é contínua em 1.
© Verifique se é derivável em 1.
Respostas: (b) é contínua em 1 ©
não é diferenciável em 1 (limites laterais 1 e 2)
(b) Verifique se
© Verifique se
Respostas: (b)