A maioria dos fenômenos físicos são modelados através de equações diferenciais. Estas são equações envolvendo derivadas de uma função, que é a incógnita. Como exemplo, a segunda lei de Newton lê-se m x'' = F(x, t), onde x denota a função posição em relação ao tempo e F a força com respeito a posição x e o tempo t.
A equação y'' + y' - 2y = x^2 com y = y(x), é um exemplo de equação diferencial. Encontre as constantes A, B, C em R tais que a função y(x) = A x^2 + B x + C satisfaça essa equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos uma equação diferencial:
E queremos encontrar os valores das constantes , e na função:
Para resolver isso, vamos calcular as derivadas de , substituir na equação diferencial e igualar os coeficientes para encontrar , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de .
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Agora, vamos reorganizar os termos por potência de :
Isso fica:

Passo 5

Para que a igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Começando pela primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Por fim, substituímos e na terceira equação:

Resposta

As constantes que satisfazem a equação são:

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