Calcule : .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra da cadeia, a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização das operações que vamos precisar:
Aqui, vemos que temos uma função composta, então vamos aplicar a Regra da Cadeia para derivar.

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de é:
onde . Agora, precisamos encontrar .

Passo 4

Para encontrar , vamos aplicar a Regra do Quociente, que diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular :
Usamos a Regra do Produto:
E :

Passo 6

Substituindo e na fórmula da Regra do Quociente:

Passo 7

Agora, substituímos na expressão da derivada :

Passo 8

Simplificando a expressão, podemos escrever:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule : .
Calcule : .
Calcule em termos de e , onde é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação: .
Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto .