Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas implícitas. O enunciado nos pede para encontrar
em termos de
e
, onde
é uma função diferenciável de
definida pela equação
. Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada de uma função que está definida implicitamente por uma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada a cada termo da equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada individualmente:
- Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é:
- Para
, como é uma função de , a derivada é:
- Para
, a derivada é direta:
Passo 4
Substituindo as derivadas encontradas na equação diferenciada:
Passo 5
Agora, vamos fatorar
dos dois primeiros termos:
Passo 6
Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Resposta
A derivada
é:
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Calcule
:
.
Calcule
:
.
Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto
.
Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto
.