Calcule em termos de e , onde é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação: .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas implícitas. O enunciado nos pede para encontrar em termos de e , onde é uma função diferenciável de definida pela equação . Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada de uma função que está definida implicitamente por uma equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada a cada termo da equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada individualmente:
  1. Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é:
  1. Para , como é uma função de , a derivada é:
  1. Para , a derivada é direta:

Passo 4

Substituindo as derivadas encontradas na equação diferenciada:

Passo 5

Agora, vamos fatorar dos dois primeiros termos:

Passo 6

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

A derivada é:

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Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto .
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