Calcule f'(x), sendo f(x) dada por: f(x) = (1/2) * ((x - x^3) / (x^2 + 3))

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada de . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é super útil quando a função que estamos derivando é uma fração de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão multiplicando o com o numerador:
Isso deixa a função mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do quociente. Se tivermos uma função na forma , a derivada dela é:

Passo 4

Identificando as partes da nossa função:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, distribuímos:
Depois:
Agora, subtraímos:
O denominador fica:

Passo 8

Finalmente, colocamos tudo junto:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:

Resposta

A derivada de é:

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