Os limites a seguir apresentam indeterminações do tipo % / 0. Calcule-os: lim x 3(raizx+1-2x-3)

Passo 1

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3. Esse exercício envolve o conceito de limites, especialmente lidando com uma forma indeterminada do tipo . Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz3+1 - 23 - 3 = raiz4 - 20 = 2 - 20 = 00 diretamente na expressão:
Esse resultado é uma indeterminação, ou seja, não podemos concluir diretamente qual é o limite. Precisamos encontrar uma maneira de simplificar a expressão.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver indeterminações desse tipo é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de é .

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada:
raizx+1 - 2x - 3 times raizx+1 + 2raizx+1 + 2 = (raizx+1 - 2)(raizx+1 + 2)(x - 3)(raizx+1 + 2)

Passo 5

No numerador, aplicamos a identidade (raizx+1)^2 - (2)^2 = (x + 1) - 4 = x - 3 :
x - 3(x - 3)(raizx+1 + 2)
Então, a expressão fica:

Passo 6

Observamos que o termo 1raizx+1 + 2 está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:

Passo 7

Agora, podemos calcular o limite substituindo 1raiz3 + 1 + 2 = 1raiz4 + 2 = 12 + 2 = 14 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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