Calcule a primeira derivada da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a primeira derivada da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma ferramenta para derivar funções que são divisões de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador na Regra do Quociente. Na nossa função
:
- O numerador
- O denominador
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Se temos uma função
, a derivada
é dada por:
Ou seja, a derivada do numerador multiplicada pelo denominador menos a derivada do denominador multiplicada pelo numerador, tudo isso dividido pelo denominador ao quadrado.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da Regra do Quociente:
Passo 6
Agora, vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:
Passo 7
Agora, colocamos tudo de volta na fórmula:
Resposta
A primeira derivada da função
é:
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limitado inferiormente pelo cone
, de equação
, e superiormente pela esfera
, de equação
.
Seja
a região delimitada pelas circunferências
e
. Calcule a área de
.
Calcule o limite
Calcule a primeira derivada de
em
.