Calcule a primeira derivada da função f(x) = (9 - x^2) / (x - 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a primeira derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma ferramenta para derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador na Regra do Quociente. Na nossa função :
  • O numerador
  • O denominador

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Se temos uma função , a derivada é dada por:
Ou seja, a derivada do numerador multiplicada pelo denominador menos a derivada do denominador multiplicada pelo numerador, tudo isso dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da Regra do Quociente:

Passo 6

Agora, vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:

Passo 7

Agora, colocamos tudo de volta na fórmula:

Resposta

A primeira derivada da função é:

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