Seja a região delimitada pelas circunferências e . Calcule a área de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região que está delimitada por duas circunferências: e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria das circunferências e cálculo de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as equações das circunferências na forma padrão, que é , onde é o centro e é o raio da circunferência.
  1. Primeira circunferência:
    Vamos rearranjar:
    Completando o quadrado para :
    Então, o centro é e o raio é .
  2. Segunda circunferência:
    Rearranjando:
    Completando o quadrado para :
    Aqui, o centro é e o raio é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas duas circunferências se interceptam. Igualando as duas equações:
Resolvendo para :
Isso nos dá . Portanto, as circunferências se interceptam apenas no ponto .

Passo 4

Como as duas circunferências só se encontram no ponto , a região que queremos calcular é a área entre elas. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e .
As equações das circunferências ficam:

Passo 5

A área entre as duas circunferências pode ser calculada pela diferença das áreas delimitadas por cada uma. A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Á
Aqui, e . Os limites de integração são de a devido à simetria das circunferências.

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Á
Simplificando:
Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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