Seja
a região delimitada pelas circunferências
e
. Calcule a área de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região
que está delimitada por duas circunferências:
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria das circunferências e cálculo de áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar as equações das circunferências na forma padrão, que é
, onde
é o centro e
é o raio da circunferência.
-
Primeira circunferência:Vamos rearranjar:Completando o quadrado para
: Então, o centro ée o raio é . -
Segunda circunferência:Rearranjando:Completando o quadrado para
: Aqui, o centro ée o raio é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas duas circunferências se interceptam. Igualando as duas equações:
Resolvendo para
:
Isso nos dá
. Portanto, as circunferências se interceptam apenas no ponto
.
Passo 4
Como as duas circunferências só se encontram no ponto
, a região
que queremos calcular é a área entre elas. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
.
As equações das circunferências ficam:
Passo 5
A área entre as duas circunferências pode ser calculada pela diferença das áreas delimitadas por cada uma. A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Aqui,
e
. Os limites de integração são de
a
devido à simetria das circunferências.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Simplificando:
Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Seja
o sólido interior à esfera
acima do plano
considere a integral
. Forneça uma expressão para
em coordenadas esféricas.
Seja
o sólido interior à esfera
acima do plano
considere a integral
. Calcule
usando em coordenadas cilíndricas.
Calcule o volume do sólido
limitado inferiormente pelo cone
, de equação
, e superiormente pela esfera
, de equação
.
Calcule a primeira derivada da função
.