Calcule o volume do sólido
limitado inferiormente pelo cone
, de equação
, e superiormente pela esfera
, de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de calcular o volume do sólido
que é limitado por um cone e uma esfera. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais em coordenadas cilíndricas, porque estamos lidando com simetria circular. Precisaremos entender as equações do cone
e da esfera
para definir os limites das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dadas. O cone
tem a equação
. Isso descreve um cone que se abre para cima a partir da origem. Já a esfera
tem a equação
, que é uma esfera de raio 1 centrada no ponto
.
Passo 3
Para achar o volume do sólido
, vamos usar coordenadas cilíndricas porque tanto o cone quanto a esfera têm simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é
.
Passo 4
Vamos encontrar onde o cone e a esfera se intersectam para determinar os limites de integração. Igualando as equações:
Substituindo
por
na equação da esfera:
Expandindo e resolvendo para
:
Então,
ou
. Isso significa que o cone e a esfera se intersectam quando
e
.
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração. O z varia de 0 a 1. Para cada
, o raio
do cone é igual a
(da equação do cone
) e o raio máximo na esfera pode ser encontrado rearranjando a equação da esfera:
Então,
varia de
(do cone) até
(da esfera).
Passo 6
Agora, montamos a integral para o volume
:
Aqui, integramos primeiro em
, depois em
, e finalmente em
.
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integral em
:
Passo 8
Substituindo na integral principal:
Primeiro, integramos em
:
Passo 9
Agora, a integral em
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja
a região delimitada pelas circunferências
e
. Calcule a área de
.
Seja
o sólido interior à esfera
acima do plano
considere a integral
. Forneça uma expressão para
em coordenadas esféricas.
Calcule a primeira derivada da função
.
Calcule o limite