Calcule o volume do sólido limitado inferiormente pelo cone , de equação , e superiormente pela esfera , de equação .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de calcular o volume do sólido que é limitado por um cone e uma esfera. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais em coordenadas cilíndricas, porque estamos lidando com simetria circular. Precisaremos entender as equações do cone e da esfera para definir os limites das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dadas. O cone tem a equação . Isso descreve um cone que se abre para cima a partir da origem. Já a esfera tem a equação , que é uma esfera de raio 1 centrada no ponto .

Passo 3

Para achar o volume do sólido , vamos usar coordenadas cilíndricas porque tanto o cone quanto a esfera têm simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é .

Passo 4

Vamos encontrar onde o cone e a esfera se intersectam para determinar os limites de integração. Igualando as equações:
Substituindo por na equação da esfera:
Expandindo e resolvendo para :
Então, ou . Isso significa que o cone e a esfera se intersectam quando e .

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração. O z varia de 0 a 1. Para cada , o raio do cone é igual a (da equação do cone ) e o raio máximo na esfera pode ser encontrado rearranjando a equação da esfera:
Então, varia de (do cone) até (da esfera).

Passo 6

Agora, montamos a integral para o volume :
Aqui, integramos primeiro em , depois em , e finalmente em .

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integral em :

Passo 8

Substituindo na integral principal:
Primeiro, integramos em :

Passo 9

Agora, a integral em :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Seja o sólido interior à esfera acima do plano considere a integral . Forneça uma expressão para em coordenadas esféricas.
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Calcule o limite