Calcule primeiramente a capacitância de um capacitor cilíndrico. Em seguida, usando a aproximação
, quando
, mostre que ela se aproxima da capacitância de um capacitor de placas paralelas quando o espaçamento entre os dois cilindros é pequeno.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para calcularmos a capacitância de um capacitor cilíndrico. Depois, usando a aproximação
quando
é bem pequeno, mostrar que essa capacitância se parece com a de um capacitor de placas paralelas quando o espaço entre os cilindros é pequeno. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da capacitância para cilindros e também entender um pouco sobre a capacitância de placas paralelas.
Passo 2
Vamos começar calculando a capacitância de um capacitor cilíndrico. Um capacitor cilíndrico é composto por dois cilindros concêntricos, um interno com raio
e outro externo com raio
. A capacitância por unidade de comprimento,
, é dada pela fórmula:
Aqui,
é a permissividade do vácuo, e
é o logaritmo natural da razão entre os raios dos cilindros.
Passo 3
Agora, queremos usar a aproximação
quando
. Para isso, vamos reescrever a expressão
de uma forma que possamos aplicar essa aproximação. Vamos assumir que
é muito pr��ximo de
, ou seja,
, onde
é o pequeno espaçamento entre os cilindros.
Passo 4
Substituindo
na expressão
:
Aqui,
é bem pequeno porque
é pequeno comparado com
. Então podemos aplicar a aproximação
com
:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na fórmula da capacitância:
Passo 6
Agora, vamos lembrar da capacitância de um capacitor de placas paralelas. A fórmula é:
Onde
é a área das placas.
Passo 7
Para comparar com o capacitor cilíndrico, considere que, quando o espaçamento
é pequeno, a área efetiva entre os cilindros se assemelha à circunferência do cilindro interno multiplicada pelo comprimento
:
. Substituindo isso na fórmula das placas paralelas:
Passo 8
Comparando com a capacitância do capacitor cilíndrico:
Isso mostra que, quando o espaçamento
é pequeno, a capacitância do capacitor cilíndrico se aproxima da capacitância de um capacitor de placas paralelas.
Resposta
A capacitância do capacitor cilíndrico se aproxima da capacitância de um capacitor de placas paralelas quando o espaçamento entre os cilindros é pequeno, sendo: