Calcule primeiramente a capacitância de um capacitor cilíndrico. Em seguida, usando a aproximação ln (1+x) cong x, quando x<<1, mostre que ela se aproxima da capacitância de um capacitor de placas paralelas quando o espaçamento entre os dois cilindros é pequeno.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para calcularmos a capacitância de um capacitor cilíndrico. Depois, usando a aproximação ln(1+x) approx x quando x é bem pequeno, mostrar que essa capacitância se parece com a de um capacitor de placas paralelas quando o espaço entre os cilindros é pequeno. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da capacitância para cilindros e também entender um pouco sobre a capacitância de placas paralelas.

Passo 2

Vamos começar calculando a capacitância de um capacitor cilíndrico. Um capacitor cilíndrico é composto por dois cilindros concêntricos, um interno com raio a e outro externo com raio b. A capacitância por unidade de comprimento, C, é dada pela fórmula:
C = 2piepsilon0ln(b/a)
Aqui, epsilon0 é a permissividade do vácuo, e ln(b/a) é o logaritmo natural da razão entre os raios dos cilindros.

Passo 3

Agora, queremos usar a aproximação ln(1+x) approx x quando x ll 1. Para isso, vamos reescrever a expressão ln(b/a) de uma forma que possamos aplicar essa aproximação. Vamos assumir que b é muito pr��ximo de a, ou seja, b = a + d, onde d é o pequeno espaçamento entre os cilindros.

Passo 4

Substituindo b = a + d na expressão ln(b/a):
ln(a + da) = ln(1 + da)
Aqui, da é bem pequeno porque d é pequeno comparado com a. Então podemos aplicar a aproximação ln(1+x) approx x com x = da:
ln(1 + da) approx da

Passo 5

Substituindo essa aproximação na fórmula da capacitância:
C approx 2piepsilon0da = 2piepsilon0 ad

Passo 6

Agora, vamos lembrar da capacitância de um capacitor de placas paralelas. A fórmula é:
Cpara<=las = epsilon0 Ad
Onde A é a área das placas.

Passo 7

Para comparar com o capacitor cilíndrico, considere que, quando o espaçamento d é pequeno, a área efetiva entre os cilindros se assemelha à circunferência do cilindro interno multiplicada pelo comprimento L: A approx 2pi a L. Substituindo isso na fórmula das placas paralelas:
Cpara<=las approx epsilon0 (2pi a L)d

Passo 8

Comparando com a capacitância do capacitor cilíndrico:
C approx 2piepsilon0 ad times L = Cpara<=las
Isso mostra que, quando o espaçamento d é pequeno, a capacitância do capacitor cilíndrico se aproxima da capacitância de um capacitor de placas paralelas.

Resposta

A capacitância do capacitor cilíndrico se aproxima da capacitância de um capacitor de placas paralelas quando o espaçamento entre os cilindros é pequeno, sendo:
C approx 2piepsilon0 ad

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