Calcule primeiramente a capacitância de um capacitor cilíndrico. Em seguida, usando a aproximação , quando , mostre que ela se aproxima da capacitância de um capacitor de placas paralelas quando o espaçamento entre os dois cilindros é pequeno.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para calcularmos a capacitância de um capacitor cilíndrico. Depois, usando a aproximação quando é bem pequeno, mostrar que essa capacitância se parece com a de um capacitor de placas paralelas quando o espaço entre os cilindros é pequeno. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da capacitância para cilindros e também entender um pouco sobre a capacitância de placas paralelas.

Passo 2

Vamos começar calculando a capacitância de um capacitor cilíndrico. Um capacitor cilíndrico é composto por dois cilindros concêntricos, um interno com raio e outro externo com raio . A capacitância por unidade de comprimento, , é dada pela fórmula:
Aqui, é a permissividade do vácuo, e é o logaritmo natural da razão entre os raios dos cilindros.

Passo 3

Agora, queremos usar a aproximação quando . Para isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que possamos aplicar essa aproximação. Vamos assumir que é muito pr��ximo de , ou seja, , onde é o pequeno espaçamento entre os cilindros.

Passo 4

Substituindo na expressão :
Aqui, é bem pequeno porque é pequeno comparado com . Então podemos aplicar a aproximação com :

Passo 5

Substituindo essa aproximação na fórmula da capacitância:

Passo 6

Agora, vamos lembrar da capacitância de um capacitor de placas paralelas. A fórmula é:
Onde é a área das placas.

Passo 7

Para comparar com o capacitor cilíndrico, considere que, quando o espaçamento é pequeno, a área efetiva entre os cilindros se assemelha à circunferência do cilindro interno multiplicada pelo comprimento : . Substituindo isso na fórmula das placas paralelas:

Passo 8

Comparando com a capacitância do capacitor cilíndrico:
Isso mostra que, quando o espaçamento é pequeno, a capacitância do capacitor cilíndrico se aproxima da capacitância de um capacitor de placas paralelas.

Resposta

A capacitância do capacitor cilíndrico se aproxima da capacitância de um capacitor de placas paralelas quando o espaçamento entre os cilindros é pequeno, sendo:

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